A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, s(A \cup B) = 5 \cdot s(A \cap B) s(A \setminus B) = 3 \cdot s(B \setminus A)\neşitlikleri verilmiştir. C kümesi, A \cup B kümesinin bir alt kümesidir. s(A \cap C) = s(B \cap C) = s(A \cap B \cap C) + 4 s((A \cup B) \setminus C) = 23 olduğuna göre, C k

A ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, s(A \cup B) = 5 \cdot s(A \cap B) s(A \set… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

A

B

boş kümeden farklı iki küme olmak üzere,

s(A \cup B) = 5 \cdot s(A \cap B)

s(A \setminus B) = 3 \cdot s(B \setminus A)

eşitlikleri verilmiştir.

C

kümesi,

A \cup B

kümesinin bir alt kümesidir.

s(A \cap C) = s(B \cap C) = s(A \cap B \cap C) + 4

s((A \cup B) \setminus C) = 23

olduğuna göre,

C

kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevap: 12

C kümesinin eleman sayısı 12'dir.

Verilen oranlar ve fark kümesi denklemleri çözüldüğünde

5k - s(A \cap B \cap C) = 31

bağıntısına ulaşılır.

s(A \cap B \cap C) \le k

olması gerektiğinden

k

tam sayısı yalnızca 7 olabilir. Buradan ortak kesişim bölgesinin eleman sayısı 4,

C

kümesinin toplam eleman sayısı ise 12 olarak hesaplanır.

Birleşim ve fark kümelerinin eleman sayıları arasındaki oranları kullanarak bölgeleri tek bir değişken cinsinden yazmak.

s(A \cap B) = k

dersek,

s(A \cup B) = 5k

s(B \setminus A) = k

s(A \setminus B) = 3k

elde edilir.

Kümelerin alt bölgelerinin büyüklüklerini birbiriyle ilişkilendirebilmek için.

C

kümesinin

A

B

ile olan kesişim bölgelerinin eleman sayılarını analiz etmek.

s((A \cap C) \setminus B) = 4

s((B \cap C) \setminus A) = 4

bulunur. Buradan

s(C) = 8 + s(A \cap B \cap C)

eşitliği yazılır.

C \subset (A \cup B)

koşuluna göre

C

kümesinin eleman sayısını üçlü kesişim bölgesi cinsinden ifade etmek için.

(A \cup B) \setminus C

fark kümesinin eleman sayısını

k

s(A \cap B \cap C)

cinsinden ifade edip 23'e eşitlemek.

5k - 8 - s(A \cap B \cap C) = 23 \implies 5k - s(A \cap B \cap C) = 31

denklemi elde edilir.

Soruda verilen eleman sayısı bilgisini kullanarak bilinmeyenler arasında doğrusal bir bağıntı kurmak için.

Kesişim kümesinin alt küme olma özelliğinden gelen eşitsizliği kullanarak

k

s(A \cap B \cap C)

değerlerini belirlemek.

0 \le 5k - 31 \le k \implies 6.2 \le k \le 7.75

aralığından

k = 7

tam sayısı bulunur. Buradan

s(A \cap B \cap C) = 4

s(C) = 8 + 4 = 12

elde edilir.

Eleman sayılarının pozitif tam sayı olması ve alt küme kapsama sınırlılıklarını değerlendirerek tekil çözüme ulaşmak için.

Kümelerde birleşim, kesişim ve fark işlemlerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiler ile alt küme özelliklerinin kullanımı.

Tahmini Süre:2m 30s