A, B ve C kümeleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir: * s(A \setminus (B \cup C)) = s(B … — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$A$ , $B$ ve $C$ kümeleri için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $s(A \setminus (B \cup C)) = s(B \setminus (A \cup C)) = s(C \setminus (A \cup B))$
* $s((A \cap B) \setminus C) = s((B \cap C) \setminus A) = s((A \cap C) \setminus B)$
* $A \cap B \cap C$ kümesinin eleman sayısı, $A \setminus (B \cup C)$ kümesinin eleman sayısından $3$ eksiktir.
* $s(A \cup B \cup C) = 42$

Buna göre, $A \cap B$ kümesinin eleman sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevap: 30

Cevap

Kesişim kümesinin eleman sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 30'dur.

Venn şemasındaki bölgelerin eleman sayıları analiz edildiğinde

s(A \cap B)

ifadesinin alabileceği farklı değerlerin 9, 10 ve 11 olduğu görülür. Bu değerlerin toplamı da 30 yapar.

Adım Adım Çözüm

Venn şemasındaki ayrık bölgelerin eleman sayıları için değişkenler tanımlanır.

a = s(A \setminus (B \cup C)) = s(B \setminus (A \cup C)) = s(C \setminus (A \cup B))

b = s((A \cap B) \setminus C) = s((B \cap C) \setminus A) = s((A \cap C) \setminus B)

c = s(A \cap B \cap C)

tanımlanır.

Kümelerdeki birleşim ve kesişim işlemlerini cebirsel olarak ifade edebilmek için bölgelerin eleman sayılarını değişkenlerle temsil etmek gerekir.

Verilen koşullara göre denklemleri kuralım.

c = a - 3

s(A \cup B \cup C) = 3a + 3b + c = 42

denklemleri elde edilir.

Kümelerin eleman sayıları arasındaki ilişkileri matematiksel denklemlere dökmek için.

Elde edilen denklemleri birleştirip tek bir Diofant denklemi elde edelim.

3a + 3b + (a - 3) = 42 \implies 4a + 3b = 45

denklemi bulunur.

Değişkenler arasındaki ilişkiyi sadeleştirerek olası değerleri bulmak için.

Kümelerin eleman sayılarının negatif olamayacağı koşulunu kullanarak (

a \ge 3

b \ge 0

c \ge 0

) denklemin tam sayı çözümlerini bulalım.

a

sayısı 3'ün katı olmalıdır. Olası

(a, b, c)

değerleri: (3, 11, 0), (6, 7, 3) ve (9, 3, 6) şeklindedir.

Küme eleman sayısının doğal sayı olması gerektiği sınırlandırmasından yararlanarak çözüm kümesini belirlemek için.

Her durum için

s(A \cap B) = b + c

değerini hesaplayıp alabileceği farklı değerlerin toplamını bulalım.

Olası

s(A \cap B)

değerleri sırasıyla

11 + 0 = 11

7 + 3 = 10

3 + 6 = 9

olup, toplamları

11 + 10 + 9 = 30

olarak bulunur.

Bizden istenen kesişim kümesinin eleman sayısının alabileceği değerler toplamını nihai olarak hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Venn şemasında bölgelere ayrarak küme işlemlerini cebirsel modelleme ve Diofant denklemlerinin çözümü

Tahmini Süre:3m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru