Examkin

Soru

Zorluk: ZorPozitif ve Negatif Sayılar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı olan pozitif, negatif ve nötr (işaretsiz) sayılarla ilgili aşağıdaki ifadeler verilmiştir:

I. Her xx gerçel sayısı için, −x4-x^4 ile (−x)4(-x)^4 ifadelerinin toplamı işaretsiz bir sayıdır.
II. Her yy gerçel sayısı için, −y2-y^2 ifadesi negatif bir sayıdır.
III. zz sıfırdan farklı bir gerçel sayı olmak üzere, (−z)−3(-z)^{-3} ile −z−3-z^{-3} ifadelerinin çarpımı her zaman pozitif bir sayıdır.

Buna göre, bu ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü ifadeler her zaman doğrudur.
Birinci ve üçüncü ifadelerin birlikte yer aldığı seçenek doğrudur. Birinci ifadede parantez içindeki negatif tabanın çift kuvveti pozitif olacağından (−x)4=x4(-x)^4 = x^4 olur ve −x4+x4=0-x^4 + x^4 = 0 elde edilir. Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır. Üçüncü ifadede ise sıfırdan farklı zz sayısı için (−z)−3=−z−3(-z)^{-3} = -z^{-3} olup, bu iki aynı ifadenin çarpımı karesini vereceğinden daima pozitif olur. İkinci ifade ise y=0y = 0 için sıfıra eşit olduğundan ve sıfır sayısı negatif olmadığından her zaman doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci ifadeyi analiz edin.
−x4+(−x)4=−x4+x4=0-x^4 + (-x)^4 = -x^4 + x^4 = 0 bulunur. Sıfır (00) sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır. Dolayısıyla birinci ifade her zaman doğrudur.
Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif olduğundan (−x)4=x4(-x)^4 = x^4 olur. Bu durumda −x4-x^4 ile x4x^4 birbirini götürür.
2
İkinci ifadeyi analiz edin.
y=0y = 0 için −y2=−02=0-y^2 = -0^2 = 0 olur. Sıfır (00) sayısı negatif değildir, nötrdür (işaretsizdir). Dolayısıyla ikinci ifade her zaman doğru değildir.
Sıfır sayısı pozitif veya negatif sınıfına girmez, işaretsizdir.
3
Üçüncü ifadeyi analiz edin.
(−z)−3⋅(−z−3)=(−z−3)⋅(−z−3)=(z−3)2=z−6>0(-z)^{-3} \cdot (-z^{-3}) = (-z^{-3}) \cdot (-z^{-3}) = (z^{-3})^2 = z^{-6} > 0 bulunur. Sıfırdan farklı her zz gerçel sayısı için z−6z^{-6} daima pozitiftir. Dolayısıyla üçüncü ifade her zaman doğrudur.
Tek kuvvet negatif tabanın işaretini dışarı çıkarır: (−z)−3=−z−3(-z)^{-3} = -z^{-3} olur. Aynı iki sayının çarpımı karesini vereceğinden sıfırdan farklı her sayı için sonuç pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif, negatif ve nötr (işaretsiz) sayıların özellikleri ile üslü ifadelerde parantez kullanımı.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Pozitif ve Negatif Sayılar

Bu konudan daha fazla soru