Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBire Bir ve Örten Fonksiyonlar
aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
A=R−{a}A = \mathbb{R} - \{a\}
B=R−{b}B = \mathbb{R} - \{b\}
kümeleri tanımlanıyor.
f:A→Bf: A \rightarrow B tanımlı
f(x)=3x−52x−4f(x) = \frac{3x - 5}{2x - 4}
fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, a⋅f(b)a \cdot f(b) çarpımının değeri kaçtır?
  1. A
    0
  2. 1Cevap
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    52\frac{5}{2}

Cevap

1
Doğru cevap 1'dir. Rasyonel fonksiyonun paydasını sıfır yapan değer tanım kümesinden çıkarılan a=2a = 2 değeridir. Fonksiyonun değer kümesinden çıkarılan değer ise yatay asimptotu olan b=32b = \frac{3}{2} değeridir. bb değeri fonksiyonda yerine yazıldığında f(32)=12f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} elde edilir. Bu iki değerin çarpılmasıyla a⋅f(b)=2⋅12=1a \cdot f(b) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun tanım kümesini belirlemek için paydayı sıfır yapan değeri buluruz.
2x−4=0⇒x=22x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 olduğundan a=2a = 2 olur. Böylece tanım kümesi A=R−{2}A = \mathbb{R} - \{2\} şeklindedir.
Rasyonel bir ifadenin tanımlı olabilmesi için paydasının sıfır olmaması gerekir. Bu yüzden paydayı sıfır yapan x=2x = 2 değeri tanım kümesinden çıkarılmıştır.
2
Fonksiyonun bire bir ve örten olmasından faydalanarak değer kümesini (görüntü kümesini) buluruz.
y=3x−52x−4y = \frac{3x - 5}{2x - 4} ifadesinde xx yalnız bırakılırsa x=4y−52y−3x = \frac{4y - 5}{2y - 3} elde edilir. Buradan paydayı sıfır yapan y=32y = \frac{3}{2} değeri görüntü kümesinde yer alamaz. Dolayısıyla b=32b = \frac{3}{2} olur ve değer kümesi B=R−{32}B = \mathbb{R} - \{\frac{3}{2}\} olarak bulunur.
Bire bir ve örten fonksiyonlarda değer kümesi görüntü kümesine eşittir. Fonksiyonun tersinin paydasını sıfır yapan değer, fonksiyonun alamayacağı değerdir.
3
Elde edilen b=32b = \frac{3}{2} değerini fonksiyonda yerine yazarak f(b)f(b) değerini hesaplarız.
f(32)=3(32)−52(32)−4=92−53−4=−12−1=12f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3\left(\frac{3}{2}\right) - 5}{2\left(\frac{3}{2}\right) - 4} = \frac{\frac{9}{2} - 5}{3 - 4} = \frac{-\frac{1}{2}}{-1} = \frac{1}{2} bulunur.
Çarpımda kullanılacak olan f(b)f(b) değerini elde etmek için xx yerine b=32b = \frac{3}{2} yazılması gerekir.
4
aa ve f(b)f(b) değerlerini çarparak sonuca ulaşırız.
a⋅f(b)=2⋅12=1a \cdot f(b) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 elde edilir.
Soru kökünde bizden istenen işlem aa ile f(b)f(b) değerlerinin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonların bire bir ve örtenlik koşulları altında tanım ve değer kümelerinin belirlenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru