Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBire Bir ve Örten Fonksiyonlar
Gerçek say��lar kümesinde tanımlı
f(x)={3x−m,x≤2x2−4x+n,x>2f(x) = \begin{cases} 3x - m, & x \leq 2 \\ x^2 - 4x + n, & x > 2 \end{cases}
fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, m+nm + n toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    2
  2. B
    6
  3. 10Cevap
  4. D
    8
  5. E
    4

Cevap

10
Fonksiyonun gerçek sayılar kümesinde bire bir ve örten olabilmesi için parçalı tanımlanan doğrusal kısım ile parabolik kısmın görüntü kümelerinin sınır noktasında boşluk veya çakışma yaratmayacak şekilde birleşmesi gerekir. x≤2x \leq 2 için doğrusal kısmın alabileceği en büyük değer 6−m6 - m, x>2x > 2 için parabolik kısmın tepe noktasından (x=2x=2) itibaren aldığı değerler ise n−4n - 4'ten büyüktür. Bu iki sınır değerinin eşit olması durumunda (6−m=n−46 - m = n - 4) fonksiyon tüm gerçek sayılarda hem bire bir hem de örten olur. Buradan m+n=10m + n = 10 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrusal parçanın (x≤2x \leq 2) görünt�� kümesini belirlemek.
x≤2x \leq 2 için f(x)=3x−mf(x) = 3x - m doğrusal fonksiyonu tanımlıdır. Eğim pozitif olduğundan fonksiyon artandır ve en büyük değerini sınır noktası olan x=2x = 2 değerinde alır. Bu değer f(2)=6−mf(2) = 6 - m olup, doğrusal parçanın görüntü kümesi (−∞,6−m](-\infty, 6 - m] aralığıdır.
Parçalı fonksiyonun genel görüntü kümesini belirlemek ve bire bir/örtenlik analizini yapmak için her bir parçanın sınır değerlerini ve yönünü belirlememiz gerekir.
2
Parabolik parçanın (x>2x > 2) görüntü kümesini belirlemek.
x>2x > 2 için f(x)=x2−4x+nf(x) = x^2 - 4x + n ikinci dereceden fonksiyonu tanımlıdır. Bu parabolün tepe noktasının apsisi r=−−42=2r = -\frac{-4}{2} = 2 değeridir. Parabolün kolları yukarı doğru olduğundan ve tepe noktası sınır değerinde bulunduğundan, x>2x > 2 aralığında fonksiyon daima artandır. Sınır noktası olan x=2x = 2 için parabolün limiti 22−4(2)+n=n−42^2 - 4(2) + n = n - 4 olur. Dolayısıyla bu parçanın görüntü kümesi (n−4,∞)(n - 4, \infty) aralığıdır.
Parabolün artan/azalan olduğu aralığı belirlemek ve görüntü kümesinin sınır değerini bulmak için tepe noktasını analiz etmemiz gerekir.
3
Görüntü kümelerini bire bir ve örtenlik koşuluna göre eşitlemek.
Fonksiyonun gerçek sayılarda tanımlı ve örten olabilmesi için her iki parçanın görüntü kümelerinin birleşimi tüm gerçek sayıları (R\mathbb{R}) oluşturmalıdır. Bire bir olması için ise görüntü kümelerinin kesişimi boş küme olmalıdır. Bu koşullar��n aynı anda sağlanması ancak sınır değerlerinin birbirine eşit olmasıyla mümkündür: 6−m=n−4  ⟹  m+n=106 - m = n - 4 \implies m + n = 10 elde edilir.
Görüntü kümelerinde boşluk (tanımsızlık/örten olmama) veya çakışma (bire bir olmama) durumunu engellemek için sınır değerleri eşitlenmelidir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların bire bir ve örtenliği

Alternatif Yöntem

Fonksiyonun grafiğini çizerek doğrusal parça ile parabolik parçanın x=2x = 2 apsisli sınır noktasında kopma veya üst üste gelme (çakışma) olmadan birleşmesi gerektiğini görsel olarak görmek de çözüme ulaştırır. x=2x=2 için 3(2)−m=22−4(2)+n3(2)-m = 2^2-4(2)+n eşitliğinden doğrudan m+n=10m+n=10 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru