Examkin

Soru

Zorluk: KolayBire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Aşağıda tanım ve değer kümeleriyle birlikte verilen fonksiyonlardan hangisi bire bir ve örten bir fonksiyondur?

  1. A
    f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x2f(x) = x^2
  2. B
    f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1
  3. f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=4−xf(x) = 4 - xCevap
  4. D
    f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, f(x)=x+3f(x) = x + 3
  5. E
    f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=∣x∣f(x) = |x|

Cevap

Gerçel sayılardan gerçel sayılara tanımlı ve kuralı f(x)=4−xf(x) = 4 - x olan fonksiyon hem bire bir hem de örtendir.
Gerçel sayılardan gerçel sayılara tanımlı f(x)=4−xf(x) = 4 - x fonksiyonunda, her farklı xx gerçel sayısı için farklı bir yy değeri elde edilir ve değer kümesindeki her gerçel sayının tanım kümesinde bir karşılığı (x=4−yx = 4 - y) bulunur. Bu nedenle bu fonksiyon hem bire bir hem de örtendir.

Adım Adım Çözüm

1
Bire birlik tanımını kontrol etmek.
f(a)=f(b)  ⟹  4−a=4−b  ⟹  a=bf(a) = f(b) \implies 4 - a = 4 - b \implies a = b elde edilir. Bu durum, tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntüsünün de farklı olduğunu gösterir. Dolayısıyla fonksiyon bire birdir.
Bir fonksiyonun bire bir olması için tanım kümesindeki farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması gerekir.
2
Örtenlik tanımını kontrol etmek.
Değer kümesinden seçilen herhangi bir y∈Ry \in \mathbb{R} için 4−x=y  ⟹  x=4−y4 - x = y \implies x = 4 - y olur. Her yy gerçel sayısı için 4−y4 - y de bir gerçel sayı olduğundan tanım kümesinde her zaman bir karşılığı vardır.
Değer kümesinde açıkta eleman kalmaması, yani değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir elemanla eşleşmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bire bir ve örten olması, tanım ve değer kümelerindeki elemanların bire bir eşleşmesine ve değer kümesinde açıkta eleman kalmamasına bağlıdır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru