Examkin

Soru

Zorluk: KolayBire Bir ve Örten Fonksiyonlar

f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} olmak üzere,

f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, ff fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. A
    Hem bire bir hem de örten bir fonksiyondur.
  2. Bire birdir fakat örten değildir.Cevap
  3. C
    Örtendir fakat bire bir değildir.
  4. D
    Ne bire bir ne de örtendir.
  5. E
    Tanım kümesindeki bazı elemanların değer kümesinde karşılığı olmadığı için fonksiyon değildir.

Cevap

Bire birdir fakat örten değildir.
Bire birdir fakat örten değildir ifadesi doğrudur. Çünkü her farklı tam sayının iki katının bir fazlası da farklıdır, bu da bire birliği sağlar. Ancak değer kümesindeki çift sayılar boşta kalır çünkü hiçbir tam sayının iki katının bir fazlası çift sayı olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Bire birlik özelliğinin incelenmesi
Tanım kümesindeki her x1,x2∈Zx_1, x_2 \in \mathbb{Z} için f(x1)=f(x2)⇒2x1+1=2x2+1⇒x1=x2f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \Rightarrow x_1 = x_2 bulunur.
Farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması bire birliğin tanımıdır. Bu eşitlik fonksiyonun bire bir olduğunu gösterir.
2
Örtenlik özelliğinin genel analizi
Değer kümesindeki herhangi bir y∈Zy \in \mathbb{Z} için y=2x+1⇒x=y−12y = 2x + 1 \Rightarrow x = \frac{y-1}{2} elde edilir.
Değer kümesindeki her yy tam sayısına karşılık gelen xx değerinin tanım kümesi olan Z\mathbb{Z}'de olup olmadığını kontrol etmek gerekir.
3
Örtenliği bozan karşıt örneğin bulunması
Örneğin y=2y = 2 için x=12x = \frac{1}{2} olur. Ancak 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z} olduğundan, değer kümesindeki 2 çift tam sayısının tanım kümesinde bir karşılığı yoktur.
Değer kümesinde en az bir eleman boşta kaldığı için fonksiyon örten değildir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için tanım ve değer kümelerinin eleman özelliklerinin sağlanması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru