Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPozitif ve Negatif Sayılar

aa, bb ve cc gerçel sayıları sayı doğrusu üzerinde soldan sağa sırasıyla a<b<ca < b < c eşitsizliğini sağlamaktadır.

Bu sayılarla ilgili,
* a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0
* a2⋅b>−a2⋅ca^2 \cdot b > -a^2 \cdot c

bilgileri veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri kesinlikle pozitif bir gerçel sayıdır?

  1. −a3⋅c2-a^3 \cdot c^2Cevap
  2. B
    (−a2)⋅c(-a^2) \cdot c
  3. C
    a⋅(−c)ba \cdot (-c)^b
  4. D
    a2⋅ba^2 \cdot b
  5. E
    a−cba - c^b

Cevap

−a3⋅c2-a^3 \cdot c^2
−a3⋅c2-a^3 \cdot c^2 ifadesinde; a<0a < 0 olduğundan a3a^3 negatif bir sayıdır ve önündeki eksi işaretiyle birlikte −a3-a^3 pozitif olur. c>0c > 0 olduğundan c2c^2 de pozitif bir sayıdır. İki pozitif sayının çarpımı kesinlikle pozitif olduğundan bu ifade her zaman pozitif bir gerçel sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 ve a2⋅b>−a2⋅ca^2 \cdot b > -a^2 \cdot c bağıntılarını kullanarak değişkenlerin sıfır olma durumunu belirleme.
a≠0a \neq 0 ve b=0b = 0 elde edilir.
a2⋅b>−a2⋅c  ⟹  a2(b+c)>0a^2 \cdot b > -a^2 \cdot c \implies a^2(b+c) > 0 eşitsizliğinde, bir sayının karesi negatif olamayacağından ve sonuç sıfırdan büyük olduğundan a≠0a \neq 0 ve a2>0a^2 > 0 olmalıdır. Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif olan a2a^2 ile bölündüğünde b+c>0b + c > 0 bulunur. a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 olduğundan ve a≠0a \neq 0 olduğundan, bb veya cc sayılarından en az biri sıfır olmalıdır. Eğer c=0c = 0 olsaydı, a<b<ca < b < c sıralamasından dolayı b<0b < 0 olurdu. Bu durumda b+c<0b + c < 0 çelişkisi doğardı. Dolayısıyla c≠0c \neq 0 olup b=0b = 0 olmalıdır.
2
b=0b = 0 bilgisini kullanarak aa ve cc sayılarının işaretlerini belirleme.
a<0a < 0 ve c>0c > 0 elde edilir.
a<b<ca < b < c sıralamasında b=0b = 0 yazıldığında a<0<ca < 0 < c elde edilir. Bu durumda aa negatif, cc ise pozitif bir gerçel sayıdır. Ayrıca b+c>0  ⟹  0+c>0  ⟹  c>0b + c > 0 \implies 0 + c > 0 \implies c > 0 durumu da bunu doğrular.
3
Elde edilen işaretleri seçeneklerdeki ifadelerde yerine yazarak kesinlikle pozitif olan ifadeyi bulma.
−a3⋅c2-a^3 \cdot c^2 ifadesinin değeri kesinlikle pozitiftir.
a<0a < 0 olduğundan a3<0a^3 < 0 olur. Önündeki eksi işaretiyle birlikte −a3>0-a^3 > 0 (pozitif) elde edilir. c>0c > 0 olduğundan c2>0c^2 > 0 (pozitif) olur. İki pozitif ifadenin çarpımı olan −a3⋅c2-a^3 \cdot c^2 ifadesi kesinlikle pozitiftir.

Anahtar Kavram

Pozitif ve negatif sayılarda işaret belirleme, sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği ve eşitsizlik özellikleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Pozitif ve Negatif Sayılar

Bu konudan daha fazla soru