Bir kütüphanedeki kitaplar; * Roman olanlar (A kümesi), * Türkçe yazılmış olanlar (B kümes… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir kütüphanedeki kitaplar;
* Roman olanlar ( $A$ kümesi),
* Türkçe yazılmış olanlar ( $B$ kümesi),
* Sayfa sayısı 200'den fazla olanlar ( $C$ kümesi)
özelliklerine göre sınıflandırılmıştır.

Bu kütüphanedeki tüm kitapların kümesi $E$ evrensel kümesidir.

Buna göre, kütüphanedeki kitaplardan;
"Türkçe yazılmamış romanlar veya sayfa sayısı 200'den fazla olmayan Türkçe yazılmış kitaplar veya roman olmayan sayfa sayısı 200'den fazla kitaplar"
grubuna ait olan tüm kitapların kümesi aşağıdakilerden hangisine her zaman eşittir?

$(A \cup B \cup C) \setminus (A \cap B \cap C)$ Cevap
B
$(A \cap B \cap C) \setminus (A \cup B \cup C)$
C
$(A \cup B \cup C)' \cup (A \cap B \cap C)$
D
$(A \setminus B) \cap (B \setminus C) \cap (C \setminus A)$
E
$(A \cup B)' \cup (B \cup C)' \cup (C \cup A)'$

Cevap

Roman, Türkçe ve sayfa sayısı 200'den fazla olan kitapların birleşim kümesinden, her üç özelliğe de aynı anda sahip olan kitapların kesişim kümesinin çıkarılmasıyla elde edilen küme

Verilen sözel koşullara göre oluşturulan

(A \setminus B) \cup (B \setminus C) \cup (C \setminus A)

kümesi, Venn şeması üzerinde incelendiğinde her üç kümenin birleşim bölgesinden sadece üçünün ortak kesişim bölgesinin çıkarılmasıyla elde edilen bölgeyi temsil eder. Bu da

(A \cup B \cup C) \setminus (A \cap B \cap C)

ifadesine eşittir.

Adım Adım Çözüm

Sözel ifadeleri küme işlemlerine dönüştürme

"Türkçe yazılmamış romanlar" ifadesi

A \cap B' = A \setminus B

olarak,
"sayfa sayısı 200'den fazla olmayan Türkçe yazılmış kitaplar" ifadesi

B \cap C' = B \setminus C

olarak,
"roman olmayan sayfa sayısı 200'den fazla kitaplar" ifadesi

C \cap A' = C \setminus A

olarak yazılır.

Soruda verilen sözel koşulların matematiksel küme işlemleriyle gösterilmesi gerekir.

Kümelerin birleşimini oluşturma

İfadeler "veya" bağlacı ile bağlandığı için aranan küme:

(A \setminus B) \cup (B \setminus C) \cup (C \setminus A)

şeklindedir.

Veya bağlacı kümelerde birleşim işlemine karşılık gelir.

Kümeyi Venn şeması üzerinde analiz etme

A \setminus B

bölgesi sadece

A

A \cap C

(kesişim

B

hariç) bölgelerini kapsar.

B \setminus C

bölgesi sadece

B

A \cap B

(kesişim

C

hariç) bölgelerini kapsar.

C \setminus A

bölgesi sadece

C

B \cap C

(kesişim

A

hariç) bölgelerini kapsar.
Bu üç bölgenin birleşimi alındığında,

A \cup B \cup C

birleşim kümesinden sadece her üç kümenin kesiştiği

A \cap B \cap C

bölgesinin taranmadığı görülür.

Elde edilen karmaşık birleşim kümesini sadeleştirmek veya seçeneklerdeki karşılığını bulmak için Venn şeması bölgelerini analiz etmek en pratik yöntemdir.

Eşit olan küme ifadesini belirleme

Şemadan görüleceği üzere taranan bölge,

A \cup B \cup C

kümesinden

A \cap B \cap C

kümesinin çıkarılmasıyla elde edilen

(A \cup B \cup C) \setminus (A \cap B \cap C)

kümesidir.

Venn şemasında taranan alanın cebirsel ifadesini seçeneklerle eşleştirmek için fark işlemi kullanılır.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin Venn şeması ve cebirsel sembollerle ifadesi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru