Examkin

Soru

Zorluk: ZorBire Bir ve Örten Fonksiyonlar
f:[−3,3]→[−6,4]f: [-3, 3] \rightarrow [-6, 4]

olmak üzere,

f(x)={2x+a,−3≤x<−1−3x+b,−1≤x≤0x+c,0<x≤3f(x) = \begin{cases} 2x + a, & -3 \leq x < -1 \\ -3x + b, & -1 \leq x \leq 0 \\ x + c, & 0 < x \leq 3 \end{cases}

fonksiyonu tanımlanıyor.

ff fonksiyonu bire bir ve örten olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?

  1. A
    -3
  2. -1Cevap
  3. C
    0
  4. D
    2
  5. E
    -5

Cevap

Fonksiyonun bire bir ve örten olmasını sağlayan parametre değerlerinin toplamı -1'dir.
Fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için, tanım kümesinin parçalandığı üç alt aralığın fonksiyon altındaki görüntülerinin kesişimleri boş küme olmalı ve birleşimleri değer kümesi olan [−6,4][-6, 4] aralığını tam olarak örtmelidir. Birinci parçanın (2x+a2x+a) görüntü kümesi [a−6,a−2)[a-6, a-2), ikinci parçanın (−3x+b-3x+b) görüntü kümesi [b,b+3][b, b+3] ve üçüncü parçanın (x+cx+c) görüntü kümesi (c,c+3](c, c+3] şeklindedir. Değer kümesinin toplam uzunluğu 10 birim olduğundan ve görüntü aralıklarının uzunlukları toplamı da 4+3+3=104+3+3=10 birim olduğundan, bu aralıklar boşluk kalmayacak ve üst üste binmeyecek şekilde sıralanmalıdır. Sol uç noktası kapalı olan ilk aralık [−6,−2)[-6, -2) olacağından a=0a=0 bulunur. Bu aralığın bittiği −2-2 noktasında kapalı başlayan ikinci aralık [−2,1][-2, 1] olacağından b=−2b=-2 elde edilir. Bu aralığın bittiği 11 noktasında açık başlayan son aralık ise (1,4](1, 4] olacağından c=1c=1 olur. Buradan parametrelerin toplamı 0+(−2)+1=−10 + (-2) + 1 = -1 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parçalı fonksiyonun alt aralıklardaki monotonluk (artanlık/azalanlık) durumlarını belirlemek.
Birinci parça (2x+a2x+a) pozitif eğimli olduğundan artan, ikinci parça (−3x+b-3x+b) negatif eğimli olduğundan azalan, üçüncü parça (x+cx+c) pozitif eğimli olduğundan artandır.
Fonksiyonun bire bir ve örten olabilmesi için her bir parçanın kendi aralığındaki görünt�� kümesini (sınır değerlerini) doğru belirlemek gerekir.
2
Her bir parçanın tanım aralığına göre görüntü kümesini parametrik olarak yazmak.
1. parça için x∈[−3,−1)  ⟹  R1=[a−6,a−2)x \in [-3, -1) \implies R_1 = [a - 6, a - 2);
2. parça için x∈[−1,0]  ⟹  R2=[b,b+3]x \in [-1, 0] \implies R_2 = [b, b + 3] (azalan olduğu için sınırlar yön değiştirir);
3. parça için x∈(0,3]  ⟹  R3=(c,c+3]x \in (0, 3] \implies R_3 = (c, c + 3] elde edilir.
Bire bir ve örtenlik için bu üç görüntü kümesinin ayrık olması ve birleşimlerinin değer kümesi olan [−6,4][-6, 4] aralığını kaplaması gerekir.
3
Aralık boylarını karşılaştırarak görüntü kümelerinin değer kümesi üzerindeki dizilimini belirlemek.
Değer kümesi [−6,4][-6, 4] aralığının boyu 10 birimdir. Görüntü kümelerinin boyları sırasıyla 4, 3 ve 3 birim olup toplamları 4+3+3=104+3+3=10 birimdir. Bu nedenle aralıklar örtüşmemeli ve uç uca eklenmelidir.
Toplam uzunluğun değer kümesinin uzunluğuna eşit olması, aralıkların uç noktalarının birbirini takip etmesi gerektiğini gösterir.
4
Aralıkların uç noktalarını değer kümesinin sınırlarına eşitleyerek parametreleri çözmek.
En soldaki aralık sol ucu kapalı olan R1R_1 olmalıdır: a−6=−6  ⟹  a=0a - 6 = -6 \implies a = 0. Böylece R1=[−6,−2)R_1 = [-6, -2) olur.
R1R_1 açık bittiğinden, bir sonraki kapalı başlayan aralık R2R_2 olmalıdır: b=−2b = -2. Böylece R2=[−2,1]R_2 = [-2, 1] olur.
R2R_2 kapalı bittiğinden, son aralık sol ucu açık olan R3R_3 olmalıdır: c=1c = 1. Böylece R3=(1,4]R_3 = (1, 4] olur.
Uç noktaların dahil olma (açık/kapalı) durumlarına dikkat edilerek kesintisiz ve örtüşmeyen bir birleşim kümesi oluşturulur.
5
Bulunan parametre değerlerini toplayarak sonuca ulaşmak.
a+b+c=0+(−2)+1=−1a + b + c = 0 + (-2) + 1 = -1 bulunur.
Soruda bizden istenen parametrelerin toplam değeridir.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonların tanım ve değer kümelerine göre bire bir ve örtenlik analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru