Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Aşağıda sol sütunda verilen cebirsel ifadeleri, sağ sütunda verilen ve bu ifadelerin çarpanlarına ayrılmış biçimleriyle eşleştiriniz.

  • x3−x2−xy2+y2x^3 - x^2 - xy^2 + y^2(x−y)(x+y)(x−1)(x-y)(x+y)(x-1)
  • x2−y2−2y−1x^2 - y^2 - 2y - 1(x−y−1)(x+y+1)(x-y-1)(x+y+1)
  • x2−2xy+y2−x+yx^2 - 2xy + y^2 - x + y(x−y)(x−y−1)(x-y)(x-y-1)

Cevap

Birinci cebirsel ifade (x−y)(x+y)(x−1)(x-y)(x+y)(x-1) ile, ikinci cebirsel ifade (x−y−1)(x+y+1)(x-y-1)(x+y+1) ile ve üçüncü cebirsel ifade (x−y)(x−y−1)(x-y)(x-y-1) ile eşleşir.
Eşleştirmelerin tamamı doğru yapılmıştır: Birinci ifade gruplandırma ve iki kare farkıyla (x−y)(x+y)(x−1)(x-y)(x+y)(x-1) şeklinde, ikinci ifade tam kare gruplaması ve iki kare farkıyla (x−y−1)(x+y+1)(x-y-1)(x+y+1) şeklinde, üçüncü ifade ise tam kare oluşturulup ortak paranteze alınarak (x−y)(x−y−1)(x-y)(x-y-1) şeklinde çarpanlarına ayrılır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci cebirsel ifadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın.
x3−x2−xy2+y2=x2(x−1)−y2(x−1)=(x2−y2)(x−1)x^3 - x^2 - xy^2 + y^2 = x^2(x-1) - y^2(x-1) = (x^2-y^2)(x-1)
x2x^2 ve −y2-y^2 terimleri ortak çarpan parantezine alınarak ifadenin ortak çarpanı olan (x−1)(x-1) belirlenir.
2
Elde edilen ifadedeki iki kare farkını uygulayın.
(x2−y2)(x−1)=(x−y)(x+y)(x−1)(x^2-y^2)(x-1) = (x-y)(x+y)(x-1)
x2−y2x^2-y^2 ifadesi iki kare farkı özdeşliği olan (x−y)(x+y)(x-y)(x+y) biçiminde açılır. Bu da birinci ifadenin (x−y)(x+y)(x−1)(x-y)(x+y)(x-1) ile eşleştiğini gösterir.
3
İkinci cebirsel ifadeyi tam kare ve iki kare farkı yardımıyla çarpanlarına ayırın.
x2−y2−2y−1=x2−(y2+2y+1)=x2−(y+1)2x^2 - y^2 - 2y - 1 = x^2 - (y^2 + 2y + 1) = x^2 - (y+1)^2
−y2−2y−1-y^2-2y-1 terimleri eksi parantezine alındığında bir tam kare olan (y+1)2(y+1)^2 elde edilir.
4
Elde edilen iki kare farkı ifadesini açın.
x2−(y+1)2=(x−(y+1))(x+(y+1))=(x−y−1)(x+y+1)x^2 - (y+1)^2 = (x - (y+1))(x + (y+1)) = (x-y-1)(x+y+1)
İki kare farkı kuralı uygulanarak ikinci ifadenin (x−y−1)(x+y+1)(x-y-1)(x+y+1) ile eşleştiği bulunur.
5
Üçüncü cebirsel ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
x2−2xy+y2−x+y=(x−y)2−(x−y)=(x−y)(x−y−1)x^2 - 2xy + y^2 - x + y = (x-y)^2 - (x-y) = (x-y)(x-y-1)
İlk üç terim (x−y)2(x-y)^2 tam karesini oluşturur, ardından gelen −x+y-x+y terimleri de −(x−y)-(x-y) olarak gruplandırılıp ortak çarpan olan (x−y)(x-y) parantezine alınır. Bu da üçüncü ifadenin (x−y)(x−y−1)(x-y)(x-y-1) ile eşleştiğini doğrular.

Anahtar Kavram

Gruplandırma yöntemi, iki kare farkı özdeşliği (a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2 = (a-b)(a+b)) ve tam kare özdeşliği ((a±b)2=a2±2ab+b2(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2) kullanarak cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırma.
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru