Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler
xx ve yy gerçel sayıları için,
x2+y2−6x+4y+13=0x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 0
olduğuna göre, x+yx + y toplamı kaçtır?
  1. A
    -5
  2. B
    -1
  3. 1Cevap
  4. D
    5
  5. E
    13

Cevap

1
Denklem (x−3)2+(y+2)2=0(x-3)^2 + (y+2)^2 = 0 biçiminde düzenlendiğinde, iki tam kare ifadenin toplamının sıfır olması için her iki ifadenin de sıfıra eşit olması gerekir. Buradan x=3x = 3 ve y=−2y = -2 elde edilir. Bu değerlerin toplamı ise 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemdeki terimleri xx ve yy değişkenlerine göre gruplandırırız.
(x2−6x)+(y2+4y)+13=0(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) + 13 = 0
Değişkenleri ayrı ayrı tam kare ifadelere dönüştürebilmek için gruplandırma yapılır.
2
Gruplandırılan ifadeleri tam kareye tamamlarız.
(x2−6x+9)+(y2+4y+4)=0⇒(x−3)2+(y+2)2=0(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 0 \Rightarrow (x-3)^2 + (y+2)^2 = 0
x2−6xx^2 - 6x ifadesini tam kare yapmak için 99, y2+4yy^2 + 4y ifadesini tam kare yapmak için 44 eklenmelidir. Sabit terim olan 1313 sayısı 9+49 + 4 olarak dağıtıldığında denklem dengelenir.
3
Elde edilen tam kare ifadelerin toplamının sıfır olması koşulunu kullanırız.
x−3=0⇒x=3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 ve y+2=0⇒y=−2y + 2 = 0 \Rightarrow y = -2
Gerçel sayıların kareleri negatif olamayacağından, toplamlarının sıfır olması ancak her bir terimin ayrı ayrı sıfıra eşit olmasıyla mümkündür.
4
x+yx + y toplamını hesaplarız.
x+y=3+(−2)=1x + y = 3 + (-2) = 1
Soruda istenen toplam değerini bulmak için elde edilen xx ve yy değerleri toplanır.

Anahtar Kavram

Tam Kare Özdeşliği ve İki Değişkenli İfadelerin En Küçük Değeri
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru