x^2 - 7x + 11 = 0 olduğuna göre, (x-3)^2 + \frac{1}{(x-3)^2} ifadesinin değeri kaçtır? — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

x^2 - 7x + 11 = 0

olduğuna göre,

(x-3)^2 + \frac{1}{(x-3)^2}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 3

İfadenin değeri 3'tür.

Soruda verilen ikinci dereceden denklem

x-3

cinsinden yazıldığında

u^2 - u - 1 = 0

biçimine dönüşür. Buradan

u - 1/u = 1

elde edilir. İstenen

u^2 + 1/u^2

ifadesi, tam kare özdeşliği yardımıyla

(u - 1/u)^2 + 2

şeklinde yazılıp yerine konduğunda sonuç 3 olarak bulunur.

x - 3 = u

değişken değiştirmesi yapılır.

x = u + 3

olur.

Sorudaki

(x-3)

terimlerini tek bir değişken altında toplayarak cebirsel işlemleri sadeleştirmek amacıyla değişken değiştirme uygulanır.

x = u + 3

ifadesi

x^2 - 7x + 11 = 0

denkleminde yerine yazılır ve açılır.

u^2 - u - 1 = 0

elde edilir.

Yeni değişken cinsinden ikinci dereceden denklemi elde etmek için yerine koyma yöntemi kullanılır.

u^2 - u - 1 = 0

denkleminin her iki tarafı

u

ile bölünür.

u - \frac{1}{u} = 1

bulunur.

u - \frac{1}{u}

ifadesini elde ederek hedef özdeşliğe ulaşmak kolaylaştırıl��r.

u^2 + \frac{1}{u^2} = (u - \frac{1}{u})^2 + 2

özdeşliği uygulanır.

3 elde edilir.

Elde edilen

u - \frac{1}{u} = 1

değeri özdeşlikte yerine yazılarak nihai sayısal sonuca ulaşılır.

Değişken Değiştirme ve İki Terimin Farkının Karesi Özdeşliği

Soru