Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bir okuldaki öğrenciler ve bu öğrencilerin üye oldukları A ile B spor kulüpleriyle ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* A kulübüne üye olup B kulübüne üye olmayan öğrenci sayısı, her iki kulübe de üye olmayan öğrenci sayısının 2 katıdır.
* B kulübüne üye olup A kulübüne üye olmayan öğrenci sayısı 9'dur.
* A kulübüne üye olan öğrenci sayısı 21'dir.
* En az bir kulübe üye olan öğrenci sayısı, en çok bir kulübe üye olan öğrenci sayısından 3 eksiktir.

Buna göre, her iki kulübe de üye olan öğrenci sayısı kaçtır?

Cevap: 5

Cevap

Her iki kulübe de üye olan öğrenci sayısı 5'tir.
Denklemler doğru kurulup çözüldüğünde her iki kulübe de üye olan öğrenci sayısı 5 olarak bulunmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerdeki ayrık bölgelerin eleman sayılarını değişkenlerle ifade edin.
s(A∖B)=xs(A \setminus B) = x, s(A∩B)=ys(A \cap B) = y, s(B∖A)=zs(B \setminus A) = z ve s((A∪B)′)=ws((A \cup B)') = w olsun.
Sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için sistematik bir gösterim gereklidir.
2
Verilen sözel önermeleri bu değişkenler cinsinden denklemlere dökün.
x=2wx = 2w, z=9z = 9, x+y=21x + y = 21 ve x+y+z=(x+z+w)−3x + y + z = (x + z + w) - 3 denklemleri elde edilir.
En az bir kulübe üye olanlar s(A∪B)=x+y+zs(A \cup B) = x + y + z, en çok bir kulübe üye olanlar ise s((A∩B)′)=x+z+ws((A \cap B)') = x + z + w ile temsil edilir.
3
Elde edilen son denklemdeki benzer terimleri sadeleştirin.
y=w−3y = w - 3 bağıntısı bulunur.
Denklemin her iki tarafındaki xx ve zz terimleri birbirini götürür.
4
Bilinmeyenleri tek bir değişken cinsinden ifade edip denklemi çözün.
2w+(w−3)=21  ⟹  3w=24  ⟹  w=82w + (w - 3) = 21 \implies 3w = 24 \implies w = 8 bulunur.
x=2wx = 2w ve y=w−3y = w - 3 değerleri x+y=21x + y = 21 denkleminde yerine yazılır.
5
Kesişim kümesinin eleman sayısını (yy) hesaplayın.
y=8−3=5y = 8 - 3 = 5 elde edilir.
Bulunan w=8w = 8 değeri y=w−3y = w - 3 eşitliğinde yerine konulur.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, tümleme, kesişim ve birleşim işlemlerinin sözel problemler üzerindeki uygulamaları.
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru