Bir kurye, motosikletiyle A kentindeki restorandan B kentindeki adrese paket teslim etmek … — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir kurye, motosikletiyle $A$ kentindeki restorandan $B$ kentindeki adrese paket teslim etmek için yola çıkmıştır. Kurye, gidişte yolun ilk yarısını saatte $30\text{ km}$ sabit hızla, kalan yarısını ise saatte $60\text{ km}$ sabit hızla gitmiştir. Siparişi teslim ettikten sonra hiç beklemeden aynı yol üzerinden saatte $v\text{ km}$ sabit hızla restorana geri dönmüştür.

Kuryenin gidiş-dönüş tüm yolculuktaki ortalama hızı saatte $48\text{ km}$ olduğuna göre, dönüş hızı olan $v$ kaçtır?

A
51
B
54
C
56
60Cevap
E
64

Cevap

Dönüş hızı olan

v

değeri 60 olmalıdır.

Kuryenin gidiş yolunda eşit iki parçayı

30\text{ km/sa}

60\text{ km/sa}

hızlarla gitmesi nedeniyle gidiş ortalama hızı harmonik ortalamadan

40\text{ km/sa}

bulunur. Tüm yolculuktaki gidiş ve dönüş yolları da eşit (

2x

) olduğundan, toplam ortalama hız olan

48\text{ km/sa}

gidiş ve dönüş hızlarının harmonik ortalamasıdır. Buradan kurulan

\frac{2 \cdot 40 \cdot v}{40 + v} = 48

denklemi çözüldüğünde dönüş hızı

60\text{ km/sa}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Yolun tamamına

2x

diyerek gidiş yolculuğunun ilk yarısı (

x

) ve ikinci yarısı (

x

) için geçen süreleri bulma.

İlk yarı için geçen süre

t_1 = \frac{x}{30}

saat, ikinci yarı için geçen süre

t_2 = \frac{x}{60}

saattir. Gidişteki toplam süre ise

t_{\text{gidiş}} = \frac{x}{30} + \frac{x}{60} = \frac{3x}{60} = \frac{x}{20}

saattir.

Süreyi bulmak için alınan yolu hıza bölmek gerekir (

t = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}

Gidiş yolculuğundaki ortalama hızı hesaplama.

V_{\text{gidiş}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Süre}} = \frac{2x}{\frac{x}{20}} = 40\text{ km/sa}

olarak bulunur.

Dönüş süreciyle birleştirerek tüm yolun ortalama hızını hesaplamak amacıyla gidişin kendi içindeki ortalama hızını belirlememiz gerekir.

Dönüş yolculuğu için geçen süreyi

v

cinsinden ifade etme.

Dönüşte alınan yol

2x

ve hız

v

olduğundan, dönüş süresi

t_{\text{dönüş}} = \frac{2x}{v}

saattir.

Tüm gidiş-dönüş yolculuğunun toplam süresini bulmak için dönüş süresini

v

cinsinden yazmalıyız.

Gidiş-dönüş tüm yolculuğun ortalama hızı

48\text{ km/sa}

bilgisini kullanarak

v

değerini bulma.

Toplam yol

2x + 2x = 4x

km, toplam süre ise

t_{\text{toplam}} = \frac{x}{20} + \frac{2x}{v}

saat olur. Ortalama hız formülünden:

48 = \frac{4x}{\frac{x}{20} + \frac{2x}{v}} \Rightarrow 48 = \frac{4}{\frac{1}{20} + \frac{2}{v}} \Rightarrow \frac{1}{20} + \frac{2}{v} = \frac{1}{12}

Denklemi çözdüğümüzde:

\frac{2}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5 - 3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} \Rightarrow v = 60\text{ km/sa}

Tüm hareket boyunca ortalama hız, toplam yolun toplam süreye oranına eşittir.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur. Eşit mesafelerdeki hızların ortalaması hesaplanırken aritmetik ortalama değil, harmonik ortalama formülü kullanılmalıdır.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru