Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler
x∉{−4,−2}x \notin \{-4, -2\} olmak üzere, tanımlı olduğu aralıkta
x2+ax−12x2+bx+c\frac{x^2 + ax - 12}{x^2 + bx + c}
ifadesinin en sade şekli
x−3x+2\frac{x-3}{x+2}
olduğuna göre, a+b+ca + b + c toplamı kaçtır?
  1. A
    -6
  2. B
    9
  3. 15Cevap
  4. D
    12
  5. E
    18

Cevap

15
İfadenin en sade halinde pay kısmında x−3x-3 kaldığına göre payın diğer çarpanı olan x+4x+4 sadeleşmiştir. Bu durumda paydadaki ifade de x+4x+4 çarpanını içermelidir. En sade halin paydasında x+2x+2 kaldığına göre, payda ifadesi (x+2)(x+4)=x2+6x+8(x+2)(x+4) = x^2 + 6x + 8 olur. Buradan katsayılar a=1a=1, b=6b=6 ve c=8c=8 olarak bulunur. Toplamları ise 15 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ifadesinin çarpanlarına ayrılması
x2+ax−12x^2 + ax - 12 ifadesinin çarpanlarından biri sadeleşmiş biçimin payındaki x−3x-3 terimidir. Diğer çarpan x−kx - k olarak yazılırsa, (−3)⋅(−k)=−12  ⟹  k=−4(-3) \cdot (-k) = -12 \implies k = -4 olur. Dolayısıyla pay ifadesi (x−3)(x+4)(x-3)(x+4) şeklindedir. Buradan a=4−3=1a = 4 - 3 = 1 elde edilir.
Sadeleşme sonrasında pay kısmında x−3x-3 teriminin kalması, payın bu çarpanı içermesini gerektirir.
2
Sadeleşen terimin bulunması ve paydanın çarpanlarına ayrılması
Paydaki (x−3)(x+4)(x-3)(x+4) ifadesinden x−3x-3 terimi kaldığına göre, sadeleşen terim x+4x+4 çarpanıdır. Bu durumda paydanın çarpanlarından biri de x+4x+4 olmalıdır. En sade halin paydasında x+2x+2 kaldığına göre payda ifadesi (x+2)(x+4)=x2+6x+8(x+2)(x+4) = x^2 + 6x + 8 olarak bulunur.
Sadeleşen x+4x+4 çarpanı ile en sade biçimde kalan x+2x+2 çarpanı çarpılarak başlangıçtaki payda elde edilir.
3
Bilinmeyen katsayıların belirlenmesi ve toplamın hesaplanması
Payda ifadesinin x2+6x+8x^2 + 6x + 8 eşitliğinden b=6b=6 ve c=8c=8 bulunur. a=1a=1 olduğundan, a+b+c=1+6+8=15a + b + c = 1 + 6 + 8 = 15 olarak hesaplanır.
Tüm katsayılar belirlendikten sonra toplam işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Çarpanlara Ayırma ve Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru