Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Her xx ve yy gerçel sayısı için ∣x+y∣−∣x−y∣=2y|x + y| - |x - y| = 2y eşitliğinin sağlanması için gerek ve yeter koşul x≥∣y∣x \geq |y| olmasıdır.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade yanlıştır çünkü y=0y = 0 ve x<0x < 0 durumunda eşitlik sağlandığı halde x≥∣y∣x \geq |y| koşulu sağlanmamaktadır.
Verilen ifade yanlıştır çünkü y=0y = 0 ve x<0x < 0 durumunda (örneğin x=−3,y=0x = -3, y = 0) eşitlik sağlandığı halde x≥∣y∣x \geq |y| koşulu sağlanmaz. Dolayısıyla bu koşul gerek koşul değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sol tarafını u=x+yu = x + y ve v=x−yv = x - y değişken dönüşümleri ile yeniden yazalım.
u−v=2yu - v = 2y olduğundan, denklem ∣u∣−∣v∣=u−v|u| - |v| = u - v haline gelir.
Değişken dönüşümü mutlak değer özelliklerini daha rahat analiz etmemizi sağlar.
2
∣u∣−u=∣v∣−v|u| - u = |v| - v eşitliğini düzenleyelim ve her iki tarafın alabileceği değerleri inceleyelim.
zz gerçel sayısı için ∣z∣−z≥0|z| - z \geq 0 olup, bu ifadenin sıfır olması z≥0z \geq 0 olmasını gerektirir. Eğer iki taraf da sıfıra eşitse, u≥0u \geq 0 ve v≥0v \geq 0 olur.
Mutlak değer tanımına göre ∣z∣≥z|z| \geq z eşitsizliği her zaman doğrudur.
3
u≥0u \geq 0 ve v≥0v \geq 0 durumunu xx ve yy cinsinden yazalım.
x+y≥0x + y \geq 0 ve x−y≥0x - y \geq 0 sisteminden x≥∣y∣x \geq |y| elde edilir. Bu durum birinci çözüm kümesidir.
İki eşitsizlik birleştirildiğinde x≥yx \geq y ve x≥−yx \geq -y elde edilir, bu da xx değerinin yy'nin mutlak değerinden büyük veya eşit olmasını gerektirir.
4
∣u∣−u=∣v∣−v>0|u| - u = |v| - v > 0 olduğu diğer durumu inceleyelim.
Bu durumda u<0u < 0 ve v<0v < 0 olmalıdır. Buradan −u−u=−v−v  ⟹  −2u=−2v  ⟹  u=v-u - u = -v - v \implies -2u = -2v \implies u = v bulunur. u=vu = v ise x+y=x−y  ⟹  y=0x + y = x - y \implies y = 0 elde edilir. u<0u < 0 olduğundan x+0<0  ⟹  x<0x + 0 < 0 \implies x < 0 olmalıdır.
Mutlak değerlerin içi negatif olduğunda dışarıya işaret değiştirerek çıkarlar.
5
Bulunan tüm çözüm kümesini birleştirip gerek ve yeter koşulu belirleyelim.
Eşitliğin sağlanması için gerek ve yeter koşul (x≥∣y∣)(x \geq |y|) veya (y=0 ve x<0)(y = 0 \text{ ve } x < 0) olmasıdır. Sadece x≥∣y∣x \geq |y| koşulu tüm çözümleri kapsamadığından gerek ve yeter koşul değildir.
y=0y = 0 ve x<0x < 0 durumu x≥∣y∣x \geq |y| kümesine dahil olmamasına rağmen denklemi sağlar.

Anahtar Kavram

Mutlak değer tanımı ve mutlak değer dışına çıkarma kuralları
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru