Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler
Pozitif bir mm gerçel sayısı için
m2−4m+1=0m^2 - 4m + 1 = 0
eşitliği verilmektedir.

Buna göre, sol sütunda numaralandırılmış olarak verilen cebirsel ifadeleri, sağ sütunda harflerle belirtilen bu ifadelerin bu koşul altındaki sayısal değerleriyle doğru şekilde eşleştiriniz.

  • m2+1m2m^2 + \frac{1}{m^2}14
  • (m−1m)2\left(m - \frac{1}{m}\right)^212
  • m3+1m3m^3 + \frac{1}{m^3}52

Cevap

Birinci ifade 14 değeriyle, ikinci ifade 12 değeriyle, üçüncü ifade ise 52 değeriyle eşleşir.
Verilen m2−4m+1=0m^2 - 4m + 1 = 0 denkleminden m+1m=4m + \frac{1}{m} = 4 elde edilir. Bu temel eşitlik kullanılarak tam kare ve iki küp toplamı özdeşlikleri yardımıyla her bir ifadenin sayısal karşılığı sırasıyla 14, 12 ve 52 olarak doğru bir şekilde bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde her terimi mm değerine bölerek m+1mm + \frac{1}{m} ifadesinin değerini elde ediniz.
m+1m=4m + \frac{1}{m} = 4 bulunur.
mm pozitif bir sayı olduğundan sıfırdan farklıdır ve denklemi mm ile bölmek tanımlıdır.
2
m+1m=4m + \frac{1}{m} = 4 eşitliğinin her iki tarafının karesini alarak birinci ifadenin değerini hesaplayınız.
m2+1m2=14m^2 + \frac{1}{m^2} = 14 bulunur.
Tam kare özdeşliğinin açılımında çarpımlarının iki katı olan 2 terimini karşı tarafa atmak gerekir.
3
İkinci ifadenin tam kare açılımını yaparak elde edilen değerleri yerine koyunuz.
(m−1m)2=12\left(m - \frac{1}{m}\right)^2 = 12 bulunur.
İki terimin farkının karesi açılımı m2−2+1m2m^2 - 2 + \frac{1}{m^2} şeklinde olup önceki adımda bulunan karesel toplamı yerine yazmayı gerektirir.
4
Üçüncü ifadeyi küp toplamı özdeşliği kullanarak açınız ve bilinen değerleri yerine yazarak hesaplayınız.
m3+1m3=52m^3 + \frac{1}{m^3} = 52 bulunur.
a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) özdeşliği hesaplamayı doğrudan kolaylaştırır.

Anahtar Kavram

Tam kare açılımı, terimlerin karesinin toplamı ve iki küp toplamı özdeşlikleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru