Examkin

Soru

Zorluk: ZorFaktöriyel Kavramı

aa ve bb birer pozitif tam sayıdır.

(a+2)!+(a+1)!+a!(a+1)!−a!=b2\frac{(a+2)! + (a+1)! + a!}{(a+1)! - a!} = \frac{b}{2}

olduğuna göre, bb değişkeninin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    17
  2. B
    31
  3. C
    52
  4. 59Cevap
  5. E
    77

Cevap

Farklı değerlerin toplamı 59'dur.
Verilen denklemde pay ifadesi ortak paranteze alındığında a!(a+2)2a!(a+2)^2 ve payda ifadesi a!⋅aa! \cdot a olarak yazılıp sadeleştirildiğinde (a+2)2a=b2\frac{(a+2)^2}{a} = \frac{b}{2} eşitliği elde edilir. Buradan denklem düzenlenirse b=2a+8+8ab = 2a + 8 + \frac{8}{a} bulunur. İlgili değişkenlerin pozitif tam sayı olduğu bilindiğinden, paydadaki değişken sekiz sayısının pozitif bölenleri {1,2,4,8}\{1, 2, 4, 8\} değerlerini alabilir. Bu değerler yerine yazıldığında aranan değişkenin alabileceği farklı değerler 16, 18 ve 25 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 59'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri en küçük olan terim cinsinden yazıp ortak paranteze alın.
(a+2)!+(a+1)!+a!=a!⋅[(a+2)(a+1)+(a+1)+1]=a!⋅(a2+4a+4)=a!⋅(a+2)2(a+2)! + (a+1)! + a! = a! \cdot [(a+2)(a+1) + (a+1) + 1] = a! \cdot (a^2 + 4a + 4) = a! \cdot (a+2)^2
Pay kısmını sadeleştirmek ve ortak bir çarpan elde etmek için.
2
Payda kısmındaki ifadeleri ortak paranteze alıp sadeleştirin.
(a+1)!−a!=a!⋅(a+1−1)=a!⋅a(a+1)! - a! = a! \cdot (a+1-1) = a! \cdot a. Buradan kesirli ifade a!⋅(a+2)2a!⋅a=(a+2)2a\frac{a! \cdot (a+2)^2}{a! \cdot a} = \frac{(a+2)^2}{a} olur.
Kesri en sade biçimine getirmek için.
3
Elde edilen sadeleşmiş ifadeyi verilen denkleme eşitleyin ve ilgili değişkeni yalnız bırakın.
(a+2)2a=b2  ⟹  b=2(a+2)2a=2a+8+8a\frac{(a+2)^2}{a} = \frac{b}{2} \implies b = \frac{2(a+2)^2}{a} = 2a + 8 + \frac{8}{a}
Değişkenin alabileceği değerlerin tam sayı olabilme koşullarını belirlemek için.
4
Tanımlanan sayı kümelerine göre olası değerleri hesaplayın.
aa pozitif tam sayı olduğundan sekiz sayısının pozitif bölenleri {1,2,4,8}\{1, 2, 4, 8\} olmalıdır. Bu değerler için sırasıyla 18, 16, 18 ve 25 değerleri elde edilir.
Pozitif tam sayı tanımına uygun değerleri bulmak için.
5
Bulunan farklı değerleri toplayın.
Farklı değerler kümesi {16,18,25}\{16, 18, 25\} olup toplamları 16+18+25=5916 + 18 + 25 = 59 olur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Faktöriyel içeren cebirsel ifadelerin ortak çarpan parantezine alınarak sadeleştirilmesi ve tam sayı bölen analizinin yapılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Faktöriyel Kavramı

Bu konudan daha fazla soru