Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAsal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Bir xx pozitif tam sayısının farklı asal çarpanlarının çarpımı P(x)P(x) ile gösterilmektedir.

Örneğin; P(12)=2⋅3=6P(12) = 2 \cdot 3 = 6 ve P(25)=5P(25) = 5’tir.

Buna göre,
P(n2−1)=6P(n^2 - 1) = 6
eşitliğini sağlayan tüm nn pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    12
  2. B
    15
  3. C
    24
  4. 29Cevap
  5. E
    32

Cevap

Eşitliği sağlayan tüm nn pozitif tam sayılarının toplamı 29'dur.
Denklemi sağlayan nn pozitif tam sayı değerleri 5, 7 ve 17'dir. Bu sayıların toplamı 29'dur.

Adım Adım Çözüm

1
P(x)=6P(x) = 6 ifadesinin matematiksel karşılığını belirleme.
n2−1n^2 - 1 ifadesinin asal çarpanları sadece 2 ve 3 olmalıdır.
Çarpımı 6 olan asal sayılar yalnızca 2 ve 3'tür. Dolayısıyla n2−1=2a⋅3bn^2 - 1 = 2^a \cdot 3^b (a≥1,b≥1a \ge 1, b \ge 1) olmalıdır.
2
nn sayısının teklik-çiftlik durumunu inceleme.
nn bir tek sayı olmalıdır.
n2−1n^2 - 1 çift bir sayı olmak zorundadır (en az bir tane 2 asal çarpanı içerir). Bu yüzden n2n^2 tek, dolayısıyla nn tek sayıdır.
3
n2−1n^2 - 1 ifadesini çarpanlarına ayırma ve ardışık sayı analizi yapma.
n−1n-1 ve n+1n+1 ardışık çift sayılardır ve en büyük ortak bölenleri 2'dir.
nn tek sayı olduğundan n−1n-1 ve n+1n+1 ardışık iki çift sayıdır. Bu iki sayının en büyük ortak böleni 2 olduğundan, ortak olmayan asal çarpanları birbirinden farklı olmak zorundadır.
4
Ardışık çift sayıları ortak çarpan parantezine alarak ardışık tam sayılara dönüştürme.
Y−X=1Y - X = 1 olacak şekilde asal çarpanları sadece 2 ve 3 olan XX ve YY tam sayıları bulunmalıdır.
n−1=2Xn-1 = 2X ve n+1=2Yn+1 = 2Y yazıldığında Y−X=1Y - X = 1 olur. Burada XX ve YY'nin asal çarpanları yalnızca 2 ve 3 kümesinin elemanları olabilir.
5
Koşula uygun ardışık (X,Y)(X, Y) çiftlerini belirleme.
Uygun çiftler (1,2)(1,2), (2,3)(2,3), (3,4)(3,4) ve (8,9)(8,9)'dur.
Asal çarpanları {2,3}\{2, 3\} kümesinde kalan ve aralarında 1 fark olan ardışık tam sayı çiftleri bunlardır.
6
Bulunan çiftlerden nn değerlerini elde etme ve denklemi sağladıklarını kontrol etme.
n=5n = 5, n=7n = 7 ve n=17n = 17 değerleri denklemi sağlarken, n=3n = 3 değeri sağlamaz.
n−1=2X  ⟹  n=2X+1n-1 = 2X \implies n = 2X + 1 formülünden:
- (1,2)  ⟹  n=3(1,2) \implies n=3. Ancak n2−1=8n^2-1 = 8 olup P(8)=2≠6P(8)=2 \neq 6 (sağlamaz).
- (2,3)  ⟹  n=5(2,3) \implies n=5. n2−1=24n^2-1 = 24 olup P(24)=6P(24)=6 (sağlar).
- (3,4)  ⟹  n=7(3,4) \implies n=7. n2−1=48n^2-1 = 48 olup P(48)=6P(48)=6 (sağlar).
- (8,9)  ⟹  n=17(8,9) \implies n=17. n2−1=288n^2-1 = 288 olup P(288)=6P(288)=6 (sağlar).
7
Geçerli nn değerlerini toplama.
5+7+17=295 + 7 + 17 = 29
Soruda istenen, eşitliği sağlayan tüm pozitif nn tam sayılarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Asal çarpanlarına ayırma ve ardışık tam sayıların asal çarpan özellikleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Bu konudan daha fazla soru