Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKüme Problemleri

Bir kütüphanedeki 8080 okuyucunun her biri roman, şiir ve tarih türündeki kitaplardan en az birini ödünç almıştır. Bu okuyucularla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Şiir kitabı alan herkes roman kitabı da almıştır.
* Tarih kitabı alan hiç kimse şiir kitabı almamıştır.
* Yalnız bir tür kitap alan okuyucu sayısı, iki tür kitap alan okuyucu sayısının 33 katıdır.
* Sadece tarih kitabı alan okuyucu sayısı, şiir kitabı alan okuyucu sayısının 22 katıdır.
* Şiir kitabı alan okuyucu sayısı 1212’dir.

Buna göre, kütüphaneden hem tarih hem de roman kitabı alan okuyucu sayısı kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    17
  3. 8Cevap
  4. D
    24
  5. E
    36

Cevap

Kümeler arasındaki alt küme ve kesişim ilişkileri kullanılarak kurulan denklem sistemi çözüldüğünde hem tarih hem de roman alan okuyucu sayısı 8 olarak bulunur.
Kümeler arasındaki alt küme ve kesişim ilişkileri kullanılarak kurulan denklem sistemi çözüldüğünde hem tarih hem de roman alan okuyucu sayısı 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Okuyucu kümelerini harflendirip alt küme ve kesişim koşullarını belirleme.
Roman alanlar RR, şiir alanlar S\cŞ, tarih alanlar TT olsun. Şiir alan herkes roman da aldığı için Ş kümesi R k��mesinin alt kümesidir (S\c⊆RŞ \subseteq R). Tarih alan hiç kimse şiir almadığı için Ş ile T kümelerinin kesişimi boştur (S\c∩T=∅Ş \cap T = \emptyset). Bu durum aynı zamanda üç tür kitabı da alan hiç kimsenin olmadığını gösterir.
Soruda verilen küme ilişkilerini doğru matematiksel şemaya dökmek için.
2
Bölgelerdeki eleman sayılarını değişkenlerle ifade etme.
Ş kümesi R'nin içinde ve T ile kesişimi boş olduğundan bölgeler şöyledir: Hem şiir hem roman alanlar (Ş kümesi) aa, sadece roman alanlar bb, hem tarih hem roman alanlar cc, sadece tarih alanlar dd olsun. Şiir alanların sayısı 12 olarak verildiğinden a=12a = 12 olur. Toplam okuyucu sayısı: a+b+c+d=80  ⟹  12+b+c+d=80  ⟹  b+c+d=68a + b + c + d = 80 \implies 12 + b + c + d = 80 \implies b + c + d = 68 elde edilir.
Verilen sayısal ilişkileri denklemlere dönüştürebilmek için.
3
Yalnız bir tür kitap alanlar ile iki tür kitap alanlar arasındaki ilişkiyi kullanma.
Yalnız bir tür kitap alanlar sadece roman (bb) veya sadece tarih (dd) alanlardır: b+db + d. İki tür kitap alanlar ise şiir-roman (aa) veya tarih-roman (cc) alanlardır: a+ca + c. Koşula göre b+d=3(a+c)b + d = 3(a + c) olur. Toplam denklemde yerine yazarsak: (a+c)+(b+d)=80  ⟹  (a+c)+3(a+c)=80  ⟹  4(a+c)=80  ⟹  a+c=20(a+c) + (b+d) = 80 \implies (a+c) + 3(a+c) = 80 \implies 4(a+c) = 80 \implies a + c = 20 bulunur.
İki tür kitap alan okuyucuların toplam sayısını elde etmek için.
4
Şiir alan okuyucu sayısını kullanarak istenen değeri hesaplama.
a=12a = 12 olduğundan, 12+c=20  ⟹  c=812 + c = 20 \implies c = 8 olarak bulunur. Bu da hem tarih hem de roman alan okuyucu sayısıdır.
Soruda bizden istenen hedef değişkene ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde alt küme, kesişim ve ayrık küme ilişkilerini kullanarak denklem sistemleri kurma ve çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru