Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bir kahve dükkanında bir gün boyunca satılan kahvelerde kullanılan çekirdek türleri incelenmiştir. Bu dükkandan kahve alan müşteriler ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Müşterilerin tamamı Arabica veya Robusta kahve çekirdeklerinden en az birini içeren kahveleri tercih etmiştir.
* Yalnızca Arabica çekirdeği içeren kahve sipariş edenlerin sayısı, her iki çekirdeği de içeren kahve sipariş edenlerin sayısının 33 katıdır.
* Yalnızca Robusta çekirdeği içeren kahve sipariş edenlerin sayısı, Arabica çekirdeği içeren kahve sipariş edenlerin sayısından 1010 eksiktir.

Bu kahve dükkanında gün boyunca toplam 5454 müşteri kahve siparişi verdiğine göre, her iki çekirdek türünü de içeren kahve sipariş eden müşteri sayısı kaçtır?

Cevap: 8

Cevap

Her iki çekirdek türünü de içeren kahve sipariş eden müşteri sayısı 8'dir.
Her iki çekirdek türünü de içeren kahve sipariş edenlerin sayısı x olarak alındığında, yalnız Arabica sipariş edenlerin sayısı 3x, Arabica sipariş edenlerin toplam sayısı 4x ve yalnız Robusta sipariş edenlerin sayısı 4x - 10 olur. Bu üç grubun toplamı 3x + x + 4x - 10 = 54 eşitliğinden 8x = 64 ve dolayısıyla x = 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kümeleri ve bilinmeyenleri tanımlama
Arabica sipariş edenlerin kümesi AA, Robusta sipariş edenlerin kümesi RR olsun. Her iki çekirdek türünü de içeren kahve sipariş edenlerin sayısı s(A∩R)=xs(A \cap R) = x olsun.
Soru bizden kesişim kümesinin eleman sayısını istemektedir.
2
Yalnızca Arabica sipariş edenlerin sayısını bulma
Yalnızca Arabica çekirdeği içeren kahve sipariş edenlerin sayısı s(A∖R)=3xs(A \setminus R) = 3x olur.
Yalnızca Arabica sipariş edenlerin sayısı, her ikisini de sipariş edenlerin sayısının 3 katı olarak verilmiştir.
3
Yalnızca Robusta sipariş edenlerin sayısını bulma
Arabica çekirdeği içeren kahve sipariş edenlerin sayısı s(A)=s(A∖R)+s(A∩R)=3x+x=4xs(A) = s(A \setminus R) + s(A \cap R) = 3x + x = 4x olur. Yalnızca Robusta çekirdeği içeren kahve sipariş edenlerin sayısı ise s(R∖A)=s(A)−10=4x−10s(R \setminus A) = s(A) - 10 = 4x - 10 olur.
Yalnızca Robusta sipariş edenlerin sayısının, Arabica sipariş edenlerin toplam sayısından 10 eksik olduğu belirtilmiştir.
4
Bilinmeyen x değerini bulmak için denklem kurma ve çözme
Tüm müşteriler en az bir kahve çekirdeği türünü sipariş ettiği için evrensel küme birleşim kümesine eşittir. Müşteri sayısı: s(A∪R)=s(A∖R)+s(R∖A)+s(A∩R)=3x+(4x−10)+x=54  ⟹  8x−10=54  ⟹  8x=64  ⟹  x=8s(A \cup R) = s(A \setminus R) + s(R \setminus A) + s(A \cap R) = 3x + (4x - 10) + x = 54 \implies 8x - 10 = 54 \implies 8x = 64 \implies x = 8 bulunur.
Toplam müşteri sayısının 54 olduğu verilmiştir.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim, birleşim ve fark işlemleri yardımıyla problem çözme
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru