Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMutlak Değerli Eşitsizlikler

Gerçel sayılar kümesi üzerinde AA ve BB kümeleri

A={x∈R:∣x2−4∣<3x}A = \{ x \in \mathbb{R} : |x^2 - 4| < 3x \}
B={x∈R:∣x−a∣≤2}B = \{ x \in \mathbb{R} : |x - a| \le 2 \}

biçiminde tanımlanıyor.

A⊆BA \subseteq B olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği tüm değerleri içeren en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [2,3][2, 3]Cevap
  2. B
    (2,3)(2, 3)
  3. C
    [1,3][1, 3]
  4. D
    [2,3)[2, 3)
  5. E
    [1,2][1, 2]

Cevap

[2,3][2, 3] kapalı aralığı
Doğru cevap [2,3][2, 3] aralığıdır. AA kümesi için ∣x2−4∣<3x|x^2 - 4| < 3x eşitsizliği çözüldüğünde, 3x>0  ⟹  x>03x > 0 \implies x > 0 koşulu altında −3x<x2−4<3x-3x < x^2 - 4 < 3x elde edilir. Bu sistemin çözümü 1<x<41 < x < 4 aralığıdır, yani A=(1,4)A = (1, 4) olur. BB kümesi ise a−2≤x≤a+2a-2 \le x \le a+2 olup B=[a−2,a+2]B = [a-2, a+2] aralığıdır. A⊆BA \subseteq B olması için [a−2,a+2][a-2, a+2] kapalı aralığının (1,4)(1, 4) açık aralığını kapsaması gerekir. Bu durum a−2≤1a-2 \le 1 ve a+2≥4a+2 \ge 4 olmasını gerektirir, buradan 2≤a≤32 \le a \le 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesini belirlemek için ∣x2−4∣<3x|x^2 - 4| < 3x eşitsizliğini çözeriz. Mutlak değerli bir ifade negatif olamayacağından, bu eşitsizliğin bir çözümünün olması için öncelikle 3x>03x > 0 yani x>0x > 0 olmalıdır.
x>0x > 0 koşulu elde edilir.
Mutlak değerin tanımı gereği ∣x2−4∣≥0|x^2 - 4| \ge 0 olduğundan, pozitif bir ifadeden küçük olması için sağ tarafın kesinlikle pozitif olması gerekir.
2
Mutlak değerli eşitsizliği açarız: −3x<x2−4<3x-3x < x^2 - 4 < 3x. Bu eşitsizlik sistemini iki ayrı eşitsizlik olarak çözeriz:
1) x2−4<3x  ⟹  x2−3x−4<0  ⟹  (x−4)(x+1)<0  ⟹  −1<x<4x^2 - 4 < 3x \implies x^2 - 3x - 4 < 0 \implies (x-4)(x+1) < 0 \implies -1 < x < 4.
2) x2−4>−3x  ⟹  x2+3x−4>0  ⟹  (x+4)(x−1)>0  ⟹  x>1x^2 - 4 > -3x \implies x^2 + 3x - 4 > 0 \implies (x+4)(x-1) > 0 \implies x > 1 veya x<−4x < -4.
x∈(−1,4)x \in (-1, 4) ve x∈(−∞,−4)∪(1,∞)x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty) aralıkları bulunur.
Mutlak değerli eşitsizliklerin standart çözüm yöntemi olan −f(x)<g(x)<f(x)-f(x) < g(x) < f(x) özelliğini uygulamak için.
3
Bulunan tüm koşulların (x>0x > 0, −1<x<4-1 < x < 4 ve x>1x > 1 veya x<−4x < -4) kesişimini alırız.
A=(1,4)A = (1, 4) kümesi elde edilir.
Eşitsizlik sistemini sağlayan tüm xx gerçel sayılarının ortak kümesini bulmak için.
4
BB kümesini belirleriz. ∣x−a∣≤2  ⟹  −2≤x−a≤2  ⟹  a−2≤x≤a+2|x - a| \le 2 \implies -2 \le x - a \le 2 \implies a - 2 \le x \le a + 2 olur. Yani B=[a−2,a+2]B = [a-2, a+2] kapalı aralığıdır.
B=[a−2,a+2]B = [a-2, a+2] aralığı elde edilir.
Kümenin elemanlarını aa parametresine bağlı bir aralık olarak ifade etmek için.
5
A⊆BA \subseteq B koşulunu uygularız. (1,4)⊆[a−2,a+2](1, 4) \subseteq [a-2, a+2] olması için sol sınırın 1'den küçük veya eşit, sağ sınırın ise 4'ten büyük veya eşit olması gerekir.
a−2≤1  ⟹  a≤3a - 2 \le 1 \implies a \le 3
a+2≥4  ⟹  a≥2a + 2 \ge 4 \implies a \ge 2
Bu iki koşulu birleştirdiğimizde 2≤a≤32 \le a \le 3 elde edilir.
a∈[2,3]a \in [2, 3] aralığı bulunur.
Bir açık aralığın bir kapalı aralığın alt kümesi olması için gereken sınır koşullarını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve Aralık İlişkileri

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği çözerken 3x>03x > 0 koşulu altında her iki tarafın karesi alınabilir: (x2−4)2<9x2  ⟹  x4−8x2+16<9x2  ⟹  x4−17x2+16<0(x^2 - 4)^2 < 9x^2 \implies x^4 - 8x^2 + 16 < 9x^2 \implies x^4 - 17x^2 + 16 < 0. Bu ifade çarpanlarına (x2−16)(x2−1)<0(x^2 - 16)(x^2 - 1) < 0 olarak ayrılır. Buradan 1<x2<161 < x^2 < 16 elde edilir. x>0x > 0 koşulu nedeniyle 1<x<41 < x < 4 bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru