Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMutlak Değerli Eşitsizlikler

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçel sayısı için,

∣x−2∣+∣x+4∣≤10|x - 2| + |x + 4| \leq 10

eşitsizliğini sağlayan xx değerlerinin kümesi AA,
∣x−a∣≥b|x - a| \geq b

eşitsizliğini sağlayan xx değerlerinin kümesi BB olarak tanımlanıyor.

A∩BA \cap B kümesi, birbirine eş iki kapalı aralığın birleşiminden oluşmaktadır. Bu iki aralığın boylarının (uzunluklarının) toplamı 44 birim olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizliklerin kesişim kümesinden elde edilen denklemlerin ortak çözümüyle a = -1 ve b = 3 değerleri bulunur, bu değerlerin toplamı 2'dir.
Ortak çözüm sonucunda a=−1a = -1 ve b=3b = 3 olarak bulunur ve bu değerler için a+ba + b toplamı 22 gerçel sayısına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
∣x−2∣+∣x+4∣≤10|x - 2| + |x + 4| \leq 10 eşitsizliğinin çözüm kümesini kritik noktalar olan x=2x = 2 ve x=−4x = -4 değerlerine göre inceleriz.
A=[−6,4]A = [-6, 4] kümesi elde edilir.
Mutlak değerli ifadenin kritik noktalarına göre parçalı fonksiyon mantığıyla işaret analizi yapılarak çözüm kümesi belirlenir.
2
∣x−a∣≥b|x - a| \geq b eşitsizliğinin çözüm kümesini yazarız. Kesişimin iki farklı aralık oluşturabilmesi için b>0b > 0 olmalıdır.
B=(−∞,a−b]∪[a+b,∞)B = (-\infty, a - b] \cup [a + b, \infty) elde edilir.
Mutlak değerli bir ifadenin pozitif bir sayıdan büyük veya eşit olması durumunda aralıklar iki uç yöne doğru açılır.
3
A∩BA \cap B kesişim kümesini iki kapalı aralık oluşturacak şekilde kurarız. Bunun için a−b>−6a - b > -6 ve a+b<4a + b < 4 olmalıdır.
A∩B=[−6,a−b]∪[a+b,4]A \cap B = [-6, a - b] \cup [a + b, 4] kesişim kümesi elde edilir.
BB kümesinin uç sınırlarının AA kümesinin iç bölgesinde kalması durumunda iki ayrı kapalı aralık oluşur.
4
Aralıkların boylarının eşitliğini ve toplamlarının 44 birim olmasını kullanırız.
Her bir aralığın uzunluğu 22 birimdir. Buradan a−b−(−6)=2⇒a−b=−4a - b - (-6) = 2 \Rightarrow a - b = -4 ve 4−(a+b)=2⇒a+b=24 - (a + b) = 2 \Rightarrow a + b = 2 denklemleri bulunur.
Birbirine eş iki aralığın uzunlukları eşit olmalıdır ve toplam uzunluk 44 birim ise her biri 22 birimdir.
5
Elde edilen denklemleri ortak çözerek aa ve bb değerlerini bulup a+ba + b toplamını hesaplarız.
a=−1a = -1 ve b=3b = 3 bulunur, buradan a+b=2a + b = 2 elde edilir. Bu değerler a−b=−4>−6a - b = -4 > -6 ve a+b=2<4a + b = 2 < 4 koşullarını sağlar.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sisteminin çözümüyle bilinmeyen parametreler belirlenir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin sayı doğrusu üzerinde analitik ve cebirsel yöntemlerle çözülmesi, kümelerin kesişim işlemlerinin aralık kavramıyla ilişkilendirilmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru