Examkin

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

40 soru

Tüm türler40Çoktan seçmeli20Sayısal20
Soru 1Soru →

Sayı doğrusu üzerinde 55 noktasına olan uzaklığı en fazla 33 birim olan gerçel sayıların kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [2,8][2, 8]

Cevap

Kapalı aralık [2,8][2, 8]
Sayı doğrusunda bir sayının 55 noktasına uzaklığı ∣x−5∣|x - 5| ile gösterilir. 'En fazla 33 birim' ifadesi sınır değerinin dahil olduğunu belirttiğinden ∣x−5∣≤3|x - 5| \le 3 eşitsizliğine ulaşılır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde −3≤x−5≤3-3 \le x - 5 \le 3 ve buradan 2≤x≤82 \le x \le 8 elde edilir. Bu da [2,8][2, 8] kapalı aralığını belirtir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı doğrusunda uzaklık tanımını kullanarak eşitsizliği kurma
∣x−5∣≤3|x - 5| \le 3
Bir xx sayısının 55 noktasına olan uzaklığı ∣x−5∣|x - 5| olup en fazla 33 birim olması ≤3\le 3 ile ifade edilir.
2
Mutlak değerli eşitsizliği açma
−3≤x−5≤3-3 \le x - 5 \le 3
∣u∣≤a|u| \le a eşitsizliği −a≤u≤a-a \le u \le a şeklinde açılır.
3
Bilinmeyeni yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafına 5 ekleme
2≤x≤82 \le x \le 8
Eşitsizliğin her tarafına 55 eklenerek xx değeri yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin uzaklık tanımıyla gösterilmesi ve çözülmesi
Soru 2Soru →

Bir meteoroloji uzmanı, bir şehirdeki günlük hava sıcaklığının en düşük 8∘C8^\circ\text{C}, en yüksek 14∘C14^\circ\text{C} olacağını öngörmektedir.

Buna göre, bu şehirdeki hava sıcaklığı olan tt değerinin alabileceği tüm olası değerleri gösteren eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∣t−11∣≤3|t - 11| \leq 3

Cevap

Sıcaklığın alabileceği değerlerin sınırlarını ve orta noktaya olan uzaklığını doğru modelleyen ∣t−11∣≤3|t - 11| \leq 3 eşitsizliğidir.
Sıcaklık değerleri 88 ile 1414 derece arasında (sınırlar dahil) değişmektedir. Bir tt sayısının bu aralıkta olması, aralığın orta noktası olan 1111 sayısına uzaklığının en fazla 33 birim olması demektir. Bu durum ∣t−11∣≤3|t - 11| \leq 3 eşitsizliği ile gösterilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sıcaklığın alabileceği değerlerin sınırlarını belirleme
8≤t≤148 \leq t \leq 14
En düşük değer 8 ve en yüksek değer 14 olduğundan, sıcaklık bu iki değer arasında ve bu değerlere eşit olabilir.
2
Aralığın orta noktasını bulma
1111
Sınır değerlerinin ortalaması alınarak orta nokta bulunur: 8+142=11\frac{8 + 14}{2} = 11.
3
Orta noktadan olan maksimum uzaklığı (yarı aralık genişliğini) belirleme
33
Orta noktanın sınır değerlerine olan uzaklığı hesaplanır: 14−11=314 - 11 = 3 (veya 11−8=311 - 8 = 3).
4
Mutlak değerli eşitsizlik ifadesini yazma
∣t−11∣≤3|t - 11| \leq 3
tt sayısının 11 noktasına olan uzaklığı en fazla 3 birim olduğundan, uzaklık ∣t−11∣|t - 11| şeklinde ifade edilir ve bu değer 3'ten küçük veya eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir gerçel sayı aralığının mutlak değerli eşitsizlik olarak modellenmesi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 3Soru →

xx bir ger��el sayı olmak üzere,

∣x−3∣<2|x - 3| < 2

olduğuna göre, 3x−13x - 1 ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

İfadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 13'tür.
Mutlak değerli eşitsizlik açıldığında 1<x<51 < x < 5 aralığı elde edilir. xx gerçel sayı olduğu için doğrudan 3x−13x - 1 ifadesinin aralığı oluşturulur. Bu durumda 2<3x−1<142 < 3x - 1 < 14 bulunur ve ifadenin alabileceği en büyük tam sayı değeri 13 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli eşitsizlik özelliğini kullanarak ifadeyi mutlak değer dışına çıkaralım.
−2<x−3<2-2 < x - 3 < 2
∣f(x)∣<a|f(x)| < a eşitsizliği −a<f(x)<a-a < f(x) < a şeklinde ��özülür.
2
Eşitsizliğin her tarafına 3 ekleyerek x gerçel sayısının değer aralığını bulalım.
1<x<51 < x < 5
x değişkenini yalnız bırakmak için.
3
Bizden istenen 3x−13x - 1 ifadesini elde etmek için eşitsizliğin her tarafını önce 3 ile çarpalım, sonra her taraftan 1 çıkaralım.
3<3x<153 < 3x < 15 ve ardından 2<3x−1<142 < 3x - 1 < 14
x gerçel sayı olduğu için doğrudan 3x−13x - 1 ifadesinin sınırlarını belirlemek gerekir.
4
Elde edilen 3x−1<143x - 1 < 14 eşitsizliğine göre ifadenin alabileceği en büyük tam sayı değerini belirleyelim.
13
14'ten küçük olan en büyük tam sayı 13'tür.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve gerçel sayı aralıklarında basit eşitsizlik işlemleri.
Soru 4Soru →
Bir xx gerçel sayısı için,
(x−4)2−3∣x−4∣−4>0(x - 4)^2 - 3|x - 4| - 4 > 0
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlamayan xx tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 36

Cevap

Eşitsizliği sağlamayan x tam sayılarının toplamı 36'dır.
Verilen eşitsizlikte (x−4)2=∣x−4∣2(x - 4)^2 = |x - 4|^2 dönüşümü yapıldıktan sonra ∣x−4∣=t|x - 4| = t denilerek ikinci dereceden (t−4)(t+1)>0(t - 4)(t + 1) > 0 eşitsizliği çözülür. Mutlak değer negatif olamayacağından t<−1t < -1 elenir ve sadece ∣x−4∣>4|x - 4| > 4 kalır. Bu eşitsizliği sağlamayan değerler ise tümleyeni olan ∣x−4∣≤4|x - 4| \le 4 eşitsizliğinin çözüm kümesidir. Buradan 0≤x≤80 \le x \le 8 aralığı elde edilir ve bu aralıktaki tam sayıların toplamı 36'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği mutlak değerli tek bir değişken cinsinden ifade etme.
∣x−4∣2−3∣x−4∣−4>0|x - 4|^2 - 3|x - 4| - 4 > 0
(x−4)2=∣x−4∣2(x - 4)^2 = |x - 4|^2 özdeşliği kullanılarak tüm terimler ∣x−4∣|x - 4| cinsinden yazılır.
2
Değişken değiştirme yöntemiyle eşitsizliği ikinci dereceden forma getirme.
t2−3t−4>0t^2 - 3t - 4 > 0 (burada t=∣x−4∣t = |x - 4| ve t≥0t \ge 0)
∣x−4∣|x - 4| yerine tt yazılarak ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edilir. Mutlak değer negatif olamayacağı için tt sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
3
İkinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulma.
t>4t > 4
(t−4)(t+1)>0(t - 4)(t + 1) > 0 eşitsizliğinin kökleri 44 ve −1-1'dir. Çözüm aralığı t>4t > 4 veya t<−1t < -1 olur. Ancak t≥0t \ge 0 koşulu nedeniyle t<−1t < -1 aralığında çözüm yoktur.
4
Orijinal eşitsizliği sağlamayan durumları belirleme.
∣x−4∣≤4|x - 4| \le 4
Eşitsizliği sağlamayan değerler, çözüm kümesinin tümleyenidir. Bu yüzden ∣x−4∣>4|x - 4| > 4 eşitsizliğinin değili (sağlamayan durumu) olan ∣x−4∣≤4|x - 4| \le 4 eşitsizliği çözülmelidir.
5
Elde edilen mutlak değerli eşitsizliği çözerek x aralığın�� bulma.
0≤x≤80 \le x \le 8
∣x−4∣≤4  ⟹  −4≤x−4≤4|x - 4| \le 4 \implies -4 \le x - 4 \le 4 eşitsizliğinde her tarafa 4 eklenerek 0≤x≤80 \le x \le 8 aralığı bulunur.
6
Aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplama.
36
0≤x≤80 \le x \le 8 aralığındaki tam sayılar 0,1,2,3,4,5,6,7,80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8'dir. Bu sayıların toplamı 0+1+2+3+4+5+6+7+8=360 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği sağlamayan aralık belirlendikten sonra (0≤x≤80 \le x \le 8), ardışık tam sayıların toplam formülü olan [n * (n + 1)] / 2 kullanılarak [8 * 9] / 2 = 36 hesabı daha hızlı yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 5Soru →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçel sayısı için,

∣x−2∣+∣x+4∣≤10|x - 2| + |x + 4| \leq 10

eşitsizliğini sağlayan xx değerlerinin kümesi AA,
∣x−a∣≥b|x - a| \geq b

eşitsizliğini sağlayan xx değerlerinin kümesi BB olarak tanımlanıyor.

A∩BA \cap B kümesi, birbirine eş iki kapalı aralığın birleşiminden oluşmaktadır. Bu iki aralığın boylarının (uzunluklarının) toplamı 44 birim olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Eşitsizliklerin kesişim kümesinden elde edilen denklemlerin ortak çözümüyle a = -1 ve b = 3 değerleri bulunur, bu değerlerin toplamı 2'dir.
Ortak çözüm sonucunda a=−1a = -1 ve b=3b = 3 olarak bulunur ve bu değerler için a+ba + b toplamı 22 gerçel sayısına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
∣x−2∣+∣x+4∣≤10|x - 2| + |x + 4| \leq 10 eşitsizliğinin çözüm kümesini kritik noktalar olan x=2x = 2 ve x=−4x = -4 değerlerine göre inceleriz.
A=[−6,4]A = [-6, 4] kümesi elde edilir.
Mutlak değerli ifadenin kritik noktalarına göre parçalı fonksiyon mantığıyla işaret analizi yapılarak çözüm kümesi belirlenir.
2
∣x−a∣≥b|x - a| \geq b eşitsizliğinin çözüm kümesini yazarız. Kesişimin iki farklı aralık oluşturabilmesi için b>0b > 0 olmalıdır.
B=(−∞,a−b]∪[a+b,∞)B = (-\infty, a - b] \cup [a + b, \infty) elde edilir.
Mutlak değerli bir ifadenin pozitif bir sayıdan büyük veya eşit olması durumunda aralıklar iki uç yöne doğru açılır.
3
A∩BA \cap B kesişim kümesini iki kapalı aralık oluşturacak şekilde kurarız. Bunun için a−b>−6a - b > -6 ve a+b<4a + b < 4 olmalıdır.
A∩B=[−6,a−b]∪[a+b,4]A \cap B = [-6, a - b] \cup [a + b, 4] kesişim kümesi elde edilir.
BB kümesinin uç sınırlarının AA kümesinin iç bölgesinde kalması durumunda iki ayrı kapalı aralık oluşur.
4
Aralıkların boylarının eşitliğini ve toplamlarının 44 birim olmasını kullanırız.
Her bir aralığın uzunluğu 22 birimdir. Buradan a−b−(−6)=2⇒a−b=−4a - b - (-6) = 2 \Rightarrow a - b = -4 ve 4−(a+b)=2⇒a+b=24 - (a + b) = 2 \Rightarrow a + b = 2 denklemleri bulunur.
Birbirine eş iki aralığın uzunlukları eşit olmalıdır ve toplam uzunluk 44 birim ise her biri 22 birimdir.
5
Elde edilen denklemleri ortak çözerek aa ve bb değerlerini bulup a+ba + b toplamını hesaplarız.
a=−1a = -1 ve b=3b = 3 bulunur, buradan a+b=2a + b = 2 elde edilir. Bu değerler a−b=−4>−6a - b = -4 > -6 ve a+b=2<4a + b = 2 < 4 koşullarını sağlar.
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sisteminin çözümüyle bilinmeyen parametreler belirlenir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin sayı doğrusu üzerinde analitik ve cebirsel yöntemlerle çözülmesi, kümelerin kesişim işlemlerinin aralık kavramıyla ilişkilendirilmesi
Soru 6Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde AA ve BB kümeleri

A={x∈R:∣x2−4∣<3x}A = \{ x \in \mathbb{R} : |x^2 - 4| < 3x \}
B={x∈R:∣x−a∣≤2}B = \{ x \in \mathbb{R} : |x - a| \le 2 \}

biçiminde tanımlanıyor.

A⊆BA \subseteq B olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği tüm değerleri içeren en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [2,3][2, 3]

Cevap

[2,3][2, 3] kapalı aralığı
Doğru cevap [2,3][2, 3] aralığıdır. AA kümesi için ∣x2−4∣<3x|x^2 - 4| < 3x eşitsizliği çözüldüğünde, 3x>0  ⟹  x>03x > 0 \implies x > 0 koşulu altında −3x<x2−4<3x-3x < x^2 - 4 < 3x elde edilir. Bu sistemin çözümü 1<x<41 < x < 4 aralığıdır, yani A=(1,4)A = (1, 4) olur. BB kümesi ise a−2≤x≤a+2a-2 \le x \le a+2 olup B=[a−2,a+2]B = [a-2, a+2] aralığıdır. A⊆BA \subseteq B olması için [a−2,a+2][a-2, a+2] kapalı aralığının (1,4)(1, 4) açık aralığını kapsaması gerekir. Bu durum a−2≤1a-2 \le 1 ve a+2≥4a+2 \ge 4 olmasını gerektirir, buradan 2≤a≤32 \le a \le 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesini belirlemek için ∣x2−4∣<3x|x^2 - 4| < 3x eşitsizliğini çözeriz. Mutlak değerli bir ifade negatif olamayacağından, bu eşitsizliğin bir çözümünün olması için öncelikle 3x>03x > 0 yani x>0x > 0 olmalıdır.
x>0x > 0 koşulu elde edilir.
Mutlak değerin tanımı gereği ∣x2−4∣≥0|x^2 - 4| \ge 0 olduğundan, pozitif bir ifadeden küçük olması için sağ tarafın kesinlikle pozitif olması gerekir.
2
Mutlak değerli eşitsizliği açarız: −3x<x2−4<3x-3x < x^2 - 4 < 3x. Bu eşitsizlik sistemini iki ayrı eşitsizlik olarak çözeriz:
1) x2−4<3x  ⟹  x2−3x−4<0  ⟹  (x−4)(x+1)<0  ⟹  −1<x<4x^2 - 4 < 3x \implies x^2 - 3x - 4 < 0 \implies (x-4)(x+1) < 0 \implies -1 < x < 4.
2) x2−4>−3x  ⟹  x2+3x−4>0  ⟹  (x+4)(x−1)>0  ⟹  x>1x^2 - 4 > -3x \implies x^2 + 3x - 4 > 0 \implies (x+4)(x-1) > 0 \implies x > 1 veya x<−4x < -4.
x∈(−1,4)x \in (-1, 4) ve x∈(−∞,−4)∪(1,∞)x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty) aralıkları bulunur.
Mutlak değerli eşitsizliklerin standart çözüm yöntemi olan −f(x)<g(x)<f(x)-f(x) < g(x) < f(x) özelliğini uygulamak için.
3
Bulunan tüm koşulların (x>0x > 0, −1<x<4-1 < x < 4 ve x>1x > 1 veya x<−4x < -4) kesişimini alırız.
A=(1,4)A = (1, 4) kümesi elde edilir.
Eşitsizlik sistemini sağlayan tüm xx gerçel sayılarının ortak kümesini bulmak için.
4
BB kümesini belirleriz. ∣x−a∣≤2  ⟹  −2≤x−a≤2  ⟹  a−2≤x≤a+2|x - a| \le 2 \implies -2 \le x - a \le 2 \implies a - 2 \le x \le a + 2 olur. Yani B=[a−2,a+2]B = [a-2, a+2] kapalı aralığıdır.
B=[a−2,a+2]B = [a-2, a+2] aralığı elde edilir.
Kümenin elemanlarını aa parametresine bağlı bir aralık olarak ifade etmek için.
5
A⊆BA \subseteq B koşulunu uygularız. (1,4)⊆[a−2,a+2](1, 4) \subseteq [a-2, a+2] olması için sol sınırın 1'den küçük veya eşit, sağ sınırın ise 4'ten büyük veya eşit olması gerekir.
a−2≤1  ⟹  a≤3a - 2 \le 1 \implies a \le 3
a+2≥4  ⟹  a≥2a + 2 \ge 4 \implies a \ge 2
Bu iki koşulu birleştirdiğimizde 2≤a≤32 \le a \le 3 elde edilir.
a∈[2,3]a \in [2, 3] aralığı bulunur.
Bir açık aralığın bir kapalı aralığın alt kümesi olması için gereken sınır koşullarını belirlemek için.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve Aralık İlişkileri

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği çözerken 3x>03x > 0 koşulu altında her iki tarafın karesi alınabilir: (x2−4)2<9x2  ⟹  x4−8x2+16<9x2  ⟹  x4−17x2+16<0(x^2 - 4)^2 < 9x^2 \implies x^4 - 8x^2 + 16 < 9x^2 \implies x^4 - 17x^2 + 16 < 0. Bu ifade çarpanlarına (x2−16)(x2−1)<0(x^2 - 16)(x^2 - 1) < 0 olarak ayrılır. Buradan 1<x2<161 < x^2 < 16 elde edilir. x>0x > 0 koşulu nedeniyle 1<x<41 < x < 4 bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 7Soru →
−3<∣x−2∣≤4-3 < |x - 2| \leq 4

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 18'dir.
Mutlak değerli bir ifade en küçük 0 değerini alabileceğinden, negatif bir sayıdan daima büyüktür. Bu nedenle −3<∣x−2∣-3 < |x - 2| eşitsizliği tüm gerçel sayılar için sağlanır. Çözülmesi gereken tek kısım ∣x−2∣≤4|x - 2| \leq 4 eşitsizliğidir. Buradan −4≤x−2≤4-4 \leq x - 2 \leq 4 ve dolayısıyla −2≤x≤6-2 \leq x \leq 6 elde edilir. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 18'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin sol tarafındaki mutlak değer özelliğini incelemek
−3<∣x−2∣-3 < |x - 2| eşitsizliğinin tüm gerçel sayılar için geçerli olduğu görülür.
Mutlak değerli bir ifadenin alabileceği en küçük değer 0'dır. Bu nedenle mutlak değerli bir ifade negatif bir sayı olan −3-3'ten daima büyüktür.
2
Sağ taraftaki ∣x−2∣≤4|x - 2| \leq 4 eşitsizliğini çözmek
−4≤x−2≤4-4 \leq x - 2 \leq 4 elde edilir.
Mutlak değerli eşitsizliklerin özelliğine göre, ∣A∣≤b|A| \leq b ise −b≤A≤b-b \leq A \leq b olur.
3
Eşitsizliği xx değişkeni için yalnız bırakmak
−2≤x≤6-2 \leq x \leq 6 aralığı elde edilir.
Eşitsizliğin her tarafına 2 eklenerek xx yalnız bırakılır.
4
Aralıktaki tam sayı değerlerini toplayarak sonucu bulmak
−2+(−1)+0+1+2+3+4+5+6=18-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 18 elde edilir.
Eşitsizliği sağlayan tam sayılar belirlenir ve bu değerlerin toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve mutlak değerin negatif olamayacağı gerçeği
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 8Soru →

Sayı doğrusu üzerinde −3-3 noktasına olan uzaklığı 55 birimden küçük olan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -27

Cevap

Sayı doğrusu üzerinde -3 noktasına olan uzaklığı 5 birimden küçük olan tam sayıların toplamı -27'dir.
Sayı doğrusu üzerinde bir xx sayısının −3-3 noktasına olan uzaklığı ∣x−(−3)∣=∣x+3∣|x - (-3)| = |x + 3| şeklinde tanımlanır. Bu uzaklığın 55 birimden küçük olması istendiği için ∣x+3∣<5|x + 3| < 5 eşitsizliği elde edilir. Mutlak değer özelliğinden −5<x+3<5-5 < x + 3 < 5 olur ve her taraftan 33 çıkarıldığında −8<x<2-8 < x < 2 aralığı bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar olan −7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 değerlerinin toplamı −27-27 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Uzaklık tanımını mutlak değerli eşitsizlik olarak yazma
∣x+3∣<5|x + 3| < 5
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlarının farkının mutlak değeridir.
2
Mutlak değerli eşitsizli��i açma
−5<x+3<5-5 < x + 3 < 5
∣u∣<a|u| < a ise −a<u<a-a < u < a kuralı uygulanır.
3
Eşitsizliği x için çözme
−8<x<2-8 < x < 2
x'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafına -3 eklenir.
4
Aralıktaki tam sayıları belirleme ve toplama
-27
−8<x<2-8 < x < 2 aralığındaki tam sayılar −7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 olup, bunların toplamı −27-27 eder.

Anahtar Kavram

Sayı doğrusu üzerinde iki nokta arasındaki uzaklığın mutlak değer ile ifade edilmesi ve ∣x−a∣<b|x - a| < b formundaki eşitsizliklerin çözümü.
Soru 9Soru →
∣2x−3∣<7|2x - 3| < 7

eşitsizliğini sağlayan en büyük xx tam sayısı ile en küçük xx tam sayısının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı ile en küçük tam sayının toplamı 3'tür.
Mutlak değerli ∣2x−3∣<7|2x - 3| < 7 eşitsizliği çözüldüğünde −7<2x−3<7-7 < 2x - 3 < 7 aralığı elde edilir. Buradan xx değerinin −2<x<5-2 < x < 5 aralığında olduğu görülür. Bu açık aralıktaki en büyük tam sayı 4, en küçük tam sayı ise −1-1'dir. Bu sayıların toplamı 4+(−1)=34 + (-1) = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli eşitsizliği, mutlak değer özelliklerini kullanarak çift yönlü eşitsizlik halinde yazmak.
−7<2x−3<7-7 < 2x - 3 < 7
∣f(x)∣<a|f(x)| < a (burada a>0a > 0) biçimindeki eşitsizlikler −a<f(x)<a-a < f(x) < a kuralına göre çözülür.
2
Eşitsizliğin her tarafına 3 eklemek ve ardından her tarafı 2'ye bölerek xx değişkenini yalnız bırakmak.
−2<x<5-2 < x < 5
xx değişkeninin değer aralığını (çözüm kümesini) bulmak.
3
Elde edilen açık aralıktaki en büyük ve en küçük tam sayı değerlerini belirlemek.
En büyük tam sayı 44, en küçük tam sayı −1-1
S��nır değerleri olan −2-2 ve 55 açık aralık sınırları olduğundan çözüme dahil edilemez; bu sınırlara en yakın tam sayılar seçilir.
4
Belirlenen en büyük ve en küçük tam sayıları toplamak.
4+(−1)=34 + (-1) = 3
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli bir ifadenin pozitif bir sayıdan küçük olması durumunda çözülmesi ve sınır değerlerin dahil edilme durumunun analizi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →
∣x−1∣<5|x - 1| < 5

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı xx doğal sayısı vardır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan 6 farklı x doğal sayısı vardır.
Mutlak değerli eşitsizlik çözüldüğünde −4<x<6-4 < x < 6 aralığı elde edilir. Bu aralıktaki doğal sayılar 0,1,2,3,4,50, 1, 2, 3, 4, 5 olup toplamda 6 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli eşitsizliği açma
−5<x−1<5-5 < x - 1 < 5
∣a∣<b|a| < b eşitsizliği −b<a<b-b < a < b şeklinde yazılır.
2
Eşitsizliği çözerek x aralığını bulma
−4<x<6-4 < x < 6
x'i yalnız bırakmak için eşitsizli��in her tarafına 1 eklenir.
3
Aralıktaki doğal sayıları belirleme
x∈{0,1,2,3,4,5}x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}
Doğal sayılar 0'dan başlar ve negatif olmayan tam sayılardır.
4
Doğal sayı adetini bulma
6
Kümedeki eleman sayısı sayılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve doğal sayı tanımının uygulanması
Soru 11Soru →
∣2x−6∣+∣y+4∣≤0|2x - 6| + |y + 4| \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx ve yy gerçel sayıları için x+yx + y toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan değerler için x+yx + y toplamı −1-1 olur.
Mutlak değerler negatif değer alamayacağından, toplamlarının sıfırdan küçük veya eşit olabilmesi için her iki mutlak değerin de aynı anda sıfır olması gerekir. Buradan x=3x = 3 ve y=−4y = -4 bulunur. Bu değerlerin toplamı −1-1 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerlerin negatif olamama özelliğini kullanarak eşitsizlik analizini yapma
∣2x−6∣=0|2x - 6| = 0 ve ∣y+4∣=0|y + 4| = 0
Herhangi bir gerçel sayı için mutlak değer daima sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olduğundan, iki mutlak değerli ifadenin toplamının sıfırdan küçük veya eşit olabilmesi ancak ikisinin de sıfır olmasıyla mümkündür.
2
İlk ifadeden xx değerini bulma
x=3x = 3
2x−6=02x - 6 = 0 denkleminden xx yalnız bırakılır.
3
İkinci ifadeden yy değerini bulma
y=−4y = -4
y+4=0y + 4 = 0 denkleminden yy yalnız bırakılır.
4
xx ve yy değerlerini toplama
x+y=−1x + y = -1
Bulunan x=3x = 3 ve y=−4y = -4 değerleri toplanarak istenen sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ifadelerin negatif olamama özelliği ve eşitsizlik çözümlerine uygulanması.
Soru 12Soru →
∣2x−5∣≤3|2x - 5| \leq 3 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [1,4][1, 4]

Cevap

Kapalı aralık [1,4][1, 4]
Mutlak değerli eşitsizlik özelliğine göre, ∣2x−5∣≤3|2x - 5| \leq 3 ifadesi −3≤2x−5≤3-3 \leq 2x - 5 \leq 3 şeklinde yazılır. Eşitsizliğin her tarafına 5 eklendiğinde 2≤2x≤82 \leq 2x \leq 8 elde edilir. Her taraf 2'ye bölündüğünde ise 1≤x≤41 \leq x \leq 4 bulunur. Eşitsizlikte küçük eşit sembolü olduğu için sınırlar dahildir ve çözüm kümesi [1,4][1, 4] kapalı aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli eşitsizlik özelliğini kullanarak mutlak değer ifadesini aralık biçiminde yazın.
−3≤2x−5≤3-3 \leq 2x - 5 \leq 3
∣f(x)∣≤a|f(x)| \leq a biçimindeki eşitsizlikler −a≤f(x)≤a-a \leq f(x) \leq a şeklinde açılır.
2
Eşitsizliğin her tarafına 5 ekleyerek ortadaki 2x2x terimini yalnız bırakın.
2≤2x≤82 \leq 2x \leq 8
Değişkeni yalnız bırakmak için sabit terimi yok etmek gerekir.
3
Eşitsizliğin her tarafını 2'ye bölerek xx değişkeninin aralığını bulun.
1≤x≤41 \leq x \leq 4
xx değişkeninin katsayısını 1 yapmak için eşitsizlik pozitif bir sayıya bölünür.
4
Sınır değerlerinin dahil olup olmadığını belirleyerek çözüm kümesini aralık olarak yazın.
[1,4][1, 4]
Eşitsizlikte 'küçük veya eşit' (≤\leq) sembolü kullanıldığı için sınır değerleri dahil edilir ve kapalı aralık kullanılır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin özellikleri ve sınır değerlerin aralığa dahil edilmesi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 13Soru →
∣2x+1∣<9|2x + 1| < 9

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı -4'tür.
Eşitsizlik çözüldüğünde elde edilen değer aralığı −5<x<4-5 < x < 4 olur. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı, −4-4 ile 33 arasındaki tüm tam sayıların toplanmasıyla −4-4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli eşitsizlik kuralını uygulayarak mutlak değeri kaldırın.
−9<2x+1<9-9 < 2x + 1 < 9
∣f(x)∣<a|f(x)| < a (burada a>0a > 0) biçimindeki eşitsizlikler −a<f(x)<a-a < f(x) < a şeklinde açılır.
2
Eşitsizlikte x ifadesini yalnız bırakmak için sırasıyla işlemleri uygulayın.
−5<x<4-5 < x < 4
Eşitsizkin her üç tarafından da 1 çıkarılırsa −10<2x<8-10 < 2x < 8 elde edilir. Ardından her taraf 2'ye bölünürse −5<x<4-5 < x < 4 bulunur.
3
Bulunan aralıktaki tam sayıları belirleyin ve bu sayıları toplayın.
Tam sayılar: −4,−3,−2,−1,0,1,2,3-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; Toplam: −4-4
Sınır değerleri olan −5-5 ve 44 açık aralık sınırları olduğundan tam sayı olarak dahil edilmezler.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin açılması ve sınır değerlerin kontrolü
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 14Soru →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçel sayısının 22 noktasına olan uzaklığı, −1-1 noktasına olan uzaklığının yarısından fazla değildir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan xx gerçel sayılarının alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: [1,5][1, 5]

Cevap

[1,5][1, 5] aralığı
Verilen sözel ifade 2∣x−2∣≤∣x+1∣2|x - 2| \leq |x + 1| şeklinde kurulur. Bu eşitsizliğin her iki tarafının karesi alınıp düzenlendiğinde 3x2−18x+15≤03x^2 - 18x + 15 \leq 0 eşitsizliğine ulaşılır. Her iki taraf 3'e bölünerek elde edilen x2−6x+5≤0x^2 - 6x + 5 \leq 0 ifadesinin kökleri 1 ve 5 olup, işaret tablosuna göre bu ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu en geniş aralık kapalı [1,5][1, 5] aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı doğrusu üzerindeki uzaklık ilişkisini mutlak değerli eşitsizlik olarak kurma
∣x−2∣≤12∣x−(−1)∣|x - 2| \leq \frac{1}{2}|x - (-1)| yani 2∣x−2∣≤∣x+1∣2|x - 2| \leq |x + 1|
Bir aa sayısının bb sayısına uzaklığı ∣a−b∣|a - b| ile ifade edilir. 'Fazla değildir' ifadesi ise küçük veya eşit (\leq) anlamına gelir.
2
Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alarak mutlak değerden kurtulma
(2∣x−2∣)2≤(∣x+1∣)2⇒4(x2−4x+4)≤x2+2x+1(2|x - 2|)^2 \leq (|x + 1|)^2 \Rightarrow 4(x^2 - 4x + 4) \leq x^2 + 2x + 1
Her iki taraf da negatif olmadığından karesi alındığında eşitsizlik yönü korunur ve mutlak değer sembolleri ortadan kalkar.
3
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizliği düzenleme
4x2−16x+16≤x2+2x+1⇒3x2−18x+15≤04x^2 - 16x + 16 \leq x^2 + 2x + 1 \Rightarrow 3x^2 - 18x + 15 \leq 0
Tüm terimleri sol tarafa toplayarak standart ikinci dereceden eşitsizlik formuna ulaşıyoruz.
4
Eşitsizliği sadeleştirme ve kökleri bulma
x2−6x+5≤0⇒(x−1)(x−5)≤0x^2 - 6x + 5 \leq 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 5) \leq 0 olup kökler x=1x = 1 ve x=5x = 5 olarak bulunur.
İfadeyi 3 ile bölüp çarpanlarına ayırarak sınır değerleri (kökleri) belirliyoruz.
5
İşaret tablosu yaparak çözüm kümesini belirleme
x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesi [1,5][1, 5] aralığında negatif veya sıfır değerler alır. Dolayısıyla en geniş çözüm aralığı [1,5][1, 5] olur.
Köklerin dışında ifadenin işareti pozitif, köklerin arasında ise negatiftir. Bizden küçük veya eşit sıfır olan bölge istendiği için kapalı aralık alınır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve uzaklık kavramının cebirsel olarak ifade edilmesi

Alternatif Yöntem

Eşitsizlik karesini almak yerine kritik noktalar olan x=−1x = -1 ve x=2x = 2 değerlerine göre sayı doğrusunu üç bölgeye ayırarak da çözülebilir. x<−1x < -1 için çözüm kümesi boş kümedir. −1≤x≤2-1 \leq x \leq 2 için eşitsizlik 1≤x≤21 \leq x \leq 2 aralığını verir. x>2x > 2 için ise 2<x≤52 < x \leq 5 aralığı elde edilir. Bu üç bölgedeki çözümler birleştirildiğinde [1,5][1, 5] aralığına ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 15Soru →
∣x−2∣≤4|x - 2| \leq 4
∣2x−a∣>6|2x - a| > 6

eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının sayısı 5'tir.

Buna göre, aa pozitif tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan en küçük pozitif a tam sayısı 11'dir.
İlk eşitsizliği sağlayan 9 tam sayıdan {−2,−1,0,1,2,3,4,5,6}\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}, ikinci eşitsizliği sağlamayan [(a−6)/2,(a+6)/2][(a-6)/2, (a+6)/2] aralığına tam olarak 4 tanesinin düşmesi gerekir. a pozitif tam sayısı için bu koşulu sağlayan en küçük değer a=11 olup, hariç tutulan aralık [2.5,8.5][2.5, 8.5] olur ve ilk kümeden {3,4,5,6}\{3, 4, 5, 6\} sayılarını kapsayarak geriye 5 çözüm bırakır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk mutlak değerli eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak ve bu aralıktaki tam sayıları listelemek.
−2≤x≤6-2 \leq x \leq 6 aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar: {−2,−1,0,1,2,3,4,5,6}\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} (9 adet).
Sistemin ilk koşulunu sağlayan x değerlerini belirlemek.
2
İkinci eşitsizliğin çözüm kümesini ve sistemi sağlamayan (hariç tutulan) aralığı belirlemek.
x>a+62x > \frac{a+6}{2} veya x<a−62x < \frac{a-6}{2} çözümü elde edilir. Sistemi sağlamayan bölge ise a−62≤x≤a+62\frac{a-6}{2} \leq x \leq \frac{a+6}{2} aralığıdır.
İkinci eşitsizliğin sınırlarını a parametresi cinsinden ifade etmek.
3
İlk kümedeki tam sayılardan kaç tanesinin hariç tutulan aralıkta olması gerektiğini belirlemek.
Toplam 9 tam sayıdan 5'inin sistemi sağlaması için, hariç tutulan aralıkta ilk kümeden tam olarak 9−5=49 - 5 = 4 tam sayı bulunmalıdır.
Sistemi sağlayan tam sayı adedinin tam olarak 5 olmasını sağlamak.
4
En küçük pozitif a tam sayısını bulmak için değerleri analiz etmek.
a=11a = 11 için hariç tutulan aralık [2.5,8.5][2.5, 8.5] olur. Bu aralıktaki tam sayılar {3,4,5,6,7,8}\{3, 4, 5, 6, 7, 8\} olup ilk küme ile kesişimi {3,4,5,6}\{3, 4, 5, 6\} (4 eleman) şeklindedir. Böylece geriye kalan {−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\} (5 eleman) sistemi sağlar. a<11a < 11 değerleri için bu kesişim 4'ten fazla eleman içerir veya kalan eleman sayısı 5 olmaz.
Koşulları sağlayan en küçük pozitif a tam sayı değerini belirlemek.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizlik sistemlerinin ortak çözüm kümesinin bulunması ve aralık analizi.
Soru 16Soru →

Bir gıda laboratuvarında üretilen zeytinyağlarının asitlik derecesi ölçülmektedir. Yapılan ölçümlerdeki hata payı en fazla 0,20,2 birimdir. Laboratuvarda asitlik derecesi xx olarak ölçülen bir zeytinyağının gerçek asitlik derecesi yy olmak üzere,

∣y−x∣≤0,2|y - x| \leq 0,2

bağıntısı geçerlidir.

Ger��ek asitlik derecesi 0,80,8 ile 1,61,6 arasında (sınırlar dahil) olan zeytinyağları 'Naturel Sızma' olarak sınıflandırılmaktadır.

Buna göre, ölçülen asitlik derecesi xx olan bir zeytinyağının gerçekte kesinlikle 'Naturel Sızma' sınıfına ait olması için xx değerinin alabileceği tüm değerleri ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∣x−1,2∣≤0,2|x - 1,2| \leq 0,2

Cevap

∣x−1,2∣≤0,2|x - 1,2| \leq 0,2 eşitsizliğidir.
Ölçülen asitlik derecesi xx olan zeytinyağının gerçek asitlik derecesi yy, ∣y−x∣≤0,2|y - x| \leq 0,2 eşitsizliğine göre x−0,2≤y≤x+0,2x - 0,2 \leq y \leq x + 0,2 aralığındadır. Bu zeytinyağının kesinlikle 'Naturel Sızma' sınıfına (yani 0,8≤y≤1,60,8 \leq y \leq 1,6 aralığına) ait olması için, yy'nin alabileceği tüm değerlerin bu aralıkta kalması gerekir. Bu da [x−0,2,x+0,2]⊆[0,8,1,6][x - 0,2, x + 0,2] \subseteq [0,8, 1,6] olmasını gerektirir. Buradan x−0,2≥0,8  ⟹  x≥1,0x - 0,2 \geq 0,8 \implies x \geq 1,0 ve x+0,2≤1,6  ⟹  x≤1,4x + 0,2 \leq 1,6 \implies x \leq 1,4 elde edilir. Dolayısıyla 1,0≤x≤1,41,0 \leq x \leq 1,4 olmalıdır. Bu aralığın orta noktası 1,21,2 ve yarı genişliği 0,20,2 olduğundan, mutlak değerli eşitsizlik ifadesi ∣x−1,2∣≤0,2|x - 1,2| \leq 0,2 şeklinde olur.

Adım Adım Çözüm

1
Hata payı bağıntısını açarak gerçek değerin aralığını bulunuz.
∣y−x∣≤0,2  ⟹  x−0,2≤y≤x+0,2|y - x| \leq 0,2 \implies x - 0,2 \leq y \leq x + 0,2 elde edilir.
Ölçülen xx değerine bağlı olarak gerçek asitlik derecesi yy'nin hangi aralıkta yer alabileceğini belirlemek için.
2
Gerçek değerin kesinlikle 'Naturel Sızma' sınırlarında kalması koşulunu uygulayınız.
[x−0,2,x+0,2]⊆[0,8,1,6][x - 0,2, x + 0,2] \subseteq [0,8, 1,6] olmalıdır. Buradan x−0,2≥0,8  ⟹  x≥1,0x - 0,2 \geq 0,8 \implies x \geq 1,0 ve x+0,2≤1,6  ⟹  x≤1,4x + 0,2 \leq 1,6 \implies x \leq 1,4 bulunur. Sonuç olarak 1,0≤x≤1,41,0 \leq x \leq 1,4 elde edilir.
Zeytinyağın��n her koşulda 'Naturel Sızma' sınıfına ait olmasını garanti altına almak için en kötü durum senaryolarındaki sınırları belirlemek amacıyla.
3
Elde edilen kapalı aralığı mutlak değerli eşitsizlik formuna dönüştürünüz.
Aralığın orta noktası 1,0+1,42=1,2\frac{1,0 + 1,4}{2} = 1,2, sınır değerlerine olan uzaklığı (yarı genişlik) 1,4−1,2=0,21,4 - 1,2 = 0,2 birimdir. Buradan eşitsizlik ∣x−1,2∣≤0,2|x - 1,2| \leq 0,2 olarak yazılır.
Soru kökündeki cebirsel ifadeyi mutlak değer gösterimine çevirmek için.

Anahtar Kavram

Bir aralığın alt küme ilişkisi kullanılarak mutlak değerli eşitsizlik şeklinde modellenmesi.

Alternatif Yöntem

Eşitsizliği değer vererek veya sınır değerlerini doğrudan deneyerek de çözebilirsiniz. Örneğin, sınır değerleri olan x=1,0x = 1,0 ve x=1,4x = 1,4 için gerçek asitlik derecesi sınırları tam olarak sağlandığından, ölçüm aralığının [1,0,1,4][1,0, 1,4] kapalı aralığı olduğu görülür. Bu aralığı veren mutlak değerli ifade doğrudan seçeneklerden kontrol edilerek doğru cevaba ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 17Soru →
∣x2−4∣≤∣x−2∣|x^2 - 4| \leq |x - 2|

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -4

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı -4 değeridir.
Eşitsizlik ∣x−2∣(∣x+2∣−1)≤0|x - 2|(|x + 2| - 1) \leq 0 şeklinde çarpanlara ayrıldığında, her xx gerçel sayısı için ∣x−2∣≥0|x - 2| \geq 0 olduğundan çözüm iki durumdan gelir: ya ∣x−2∣=0|x - 2| = 0 (yani x=2x = 2) ya da ∣x+2∣−1≤0|x + 2| - 1 \leq 0 (yani −3≤x≤−1-3 \leq x \leq -1) olur. Bu iki kümenin birleşiminden elde edilen tam sayılar −3,−2,−1-3, -2, -1 ve 22 olup toplamları -4 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin sol tarafındaki ifadeyi iki kare farkı özdeşliği ve mutlak değerin çarpım özelliğini kullanarak çarpanlarına ayırın.
∣x−2∣⋅∣x+2∣≤∣x−2∣|x - 2| \cdot |x + 2| \leq |x - 2|
x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x-2)(x+2) olduğundan ∣x2−4∣=∣x−2∣∣x+2∣|x^2-4| = |x-2||x+2| olarak yazılabilir.
2
Tüm ifadeleri sol tarafa toplayarak ortak çarpan parantezine alın.
∣x−2∣⋅(∣x+2∣−1)≤0|x - 2| \cdot (|x + 2| - 1) \leq 0
Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için çarpanlar��n işaretlerini incelemek gerekir.
3
Çarpanların sıfırdan küçük veya eşit olma durumlarını inceleyin.
∣x−2∣=0|x - 2| = 0 veya ∣x+2∣−1≤0|x + 2| - 1 \leq 0
Her xx gerçel sayısı için ∣x−2∣≥0|x - 2| \geq 0 olduğundan, çarpımın sonucunun sıfırdan küçük veya eşit olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması ya da ikinci çarpanın negatif olması gerekir.
4
Her iki durumu ayrı ayrı çözün.
x=2x = 2 ve −3≤x≤−1-3 \leq x \leq -1
∣x−2∣=0⇒x=2|x - 2| = 0 \Rightarrow x = 2 olur. ∣x+2∣≤1⇒−1≤x+2≤1⇒−3≤x+2≤1⇒−3≤x≤−1|x + 2| \leq 1 \Rightarrow -1 \leq x + 2 \leq 1 \Rightarrow -3 \leq x + 2 \leq 1 \Rightarrow -3 \leq x \leq -1 elde edilir.
5
Bulunan çözüm aralıklarındaki tam sayıları listeleyin.
−3,−2,−1-3, -2, -1 ve 22
Hem aralıktaki uç değerler dahil olduğundan hem de tek nokta çözümü olan 22 gerçel sayısı birer tam sayıdır.
6
Bu tam sayıları toplayın.
−3+(−2)+(−1)+2=−4-3 + (-2) + (-1) + 2 = -4
İstenen tam sayıların toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ifadelerin çarpım özelliği ve mutlak değerin negatif olamama kuralı.
Soru 18Soru →

Hassas bir üretim bandında üretilen metal çubukların boyları xx santimetredir. Bu çubukların standartlara uygun kabul edilmesi için boylarının 15 santimetreye olan uzaklığının 3 katı, 27 santimetreye olan uzaklığından büyük olmamalıdır.

Buna göre, standartlara uygun bir metal çubuğun boyunun (xx) alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 27

Cevap

Standartlara uygun bir metal çubuğun boyunun alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı 27'dir.
Verilen problem matematiksel olarak 3∣x−15∣≤∣x−27∣3|x - 15| \leq |x - 27| şeklinde modellenir. Her iki tarafın karesi alındığında x2−27x+162≤0x^2 - 27x + 162 \leq 0 eşitsizliğine ulaşılır. Bu eşitsizlik çarpanlarına ayrıldığında (x−9)(x−18)≤0(x - 9)(x - 18) \leq 0 elde edilir ve xx değişkeninin kapalı aralığı [9,18][9, 18] olarak bulunur. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri 9, en büyük tam sayı değeri ise 18'dir. Toplamları ise 9+18=279 + 18 = 27 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel koşulları cebirsel olarak ifade etmek.
3∣x−15∣≤∣x−27∣3|x - 15| \leq |x - 27|
15'e olan uzaklığın 3 katının (3∣x−15∣3|x-15|), 27'ye olan uzaklıktan (∣x−27∣|x-27|) büyük olmaması (küçük veya eşit olması) koşulu mutlak değer kullanılarak ifade edilmiştir.
2
Mutlak değerli eşitsizliği çözmek için her iki tarafın karesini almak ve sadeleştirmek.
x2−27x+162≤0x^2 - 27x + 162 \leq 0
Her iki taraf pozitif olduğundan, karesi alındığında eşitsizlik yön değiştirmez ve mutlak değer sembolleri ortadan kalkar. 9(x2−30x+225)≤x2−54x+7299(x^2 - 30x + 225) \leq x^2 - 54x + 729 ifadesi düzenlendiğinde bu ikinci dereceden eşitsizlik elde edilir.
3
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizliği çarpanlarına ayırarak çözüm kümesini bulmak.
x∈[9,18]x \in [9, 18]
x2−27x+162=(x−9)(x−18)x^2 - 27x + 162 = (x - 9)(x - 18) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Çarpımın sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralık [9,18][9, 18] kapalı aralığıdır.
4
Sınır tam sayı değerlerini belirleyip toplamak.
2727
Çözüm aralığındaki en küçük tam sayı değeri 9, en büyük tam sayı değeri ise 18'dir. Bu iki değerin toplamı 9+18=279 + 18 = 27 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli bir eşitsizliğin karesel yöntemle veya kritik nokta analiziyle ikinci dereceden eşitsizliğe dönüştürülerek çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Eşitsizlik ∣3x−45∣≤∣x−27∣|3x - 45| \leq |x - 27| şeklinde yazıldıktan sonra kritik noktalar olan x=15x = 15 ve x=27x = 27 sınırlarına göre parçalı fonksiyon olarak incelenebilir:
1) x<15x < 15 için: −(3x−45)≤−(x−27)  ⟹  −3x+45≤−x+27  ⟹  18≤2x  ⟹  x≥9-(3x - 45) \leq -(x - 27) \implies -3x + 45 \leq -x + 27 \implies 18 \leq 2x \implies x \geq 9. Bu bölgedeki çözüm [9,15)[9, 15) aralığıdır.
2) 15≤x<2715 \leq x < 27 için: (3x−45)≤−(x−27)  ⟹  3x−45≤−x+27  ⟹  4x≤72  ⟹  x≤18(3x - 45) \leq -(x - 27) \implies 3x - 45 \leq -x + 27 \implies 4x \leq 72 \implies x \leq 18. Bu bölgedeki çözüm [15,18][15, 18] aralığıdır.
3) x≥27x \geq 27 için: 3x−45≤x−27  ⟹  2x≤18  ⟹  x≤93x - 45 \leq x - 27 \implies 2x \leq 18 \implies x \leq 9. Bu bölgede x≥27x \geq 27 ile kesişim boş kümedir.
Bölgelerin birleşimi [9,18][9, 18] kapalı aralığını verir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 19Soru →

xx ve yy gerçel sayıları için,

1≤∣x−2∣<51 \leq |x - 2| < 5
∣2x+y−3∣≤0|2x + y - 3| \leq 0

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, yy tam sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -2

Cevap

y tam sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı -2'dir.
Mutlak değer negatif olamayacağından, ikinci denklemden y=3−2xy = 3 - 2x elde edilir. Birinci eşitsizlik çözülerek elde edilen xx aralıkları, yy değişkeninin (−11,−3]∪[1,9)(-11, -3] \cup [1, 9) kümesinde olduğunu gösterir. Bu kümedeki en küçük tam sayı −10-10, en büyük tam sayı 88 olduğundan toplamları −2-2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci eşitsizlikteki mutlak değer özelliğini analiz etme
y=3−2xy = 3 - 2x
Mutlak değerli bir ifade negatif değer alamayacağı için ∣2x+y−3∣≤0|2x + y - 3| \leq 0 eşitsizliği yalnızca 2x+y−3=02x + y - 3 = 0 durumunda sağlanır.
2
Birinci eşitsizliği çözerek x'in değer aralıklarını bulma
3≤x<73 \leq x < 7 veya −3<x≤1-3 < x \leq 1
1≤∣x−2∣<51 \leq |x - 2| < 5 ifadesi, mutlak değer içi pozitif ve negatif olacak şekilde iki ayrı eşitsizlik halinde incelenir.
3
Bulunan x aralıkları yardımıyla y ifadesini oluşturma
−11<y≤−3-11 < y \leq -3 veya 1≤y<91 \leq y < 9
y=3−2xy = 3 - 2x olduğundan, her iki eşitsizlik aralığı sırasıyla −2-2 ile çarpılıp 33 eklenerek yy yalnız bırakılır.
4
y tam sayısının sınır değerlerini bulma ve toplama
8+(−10)=−28 + (-10) = -2
yy'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 88 (açık sınır 99 olduğundan dahil değil), en küçük tam sayı değeri ise −10-10 (açık sınır −11-11 olduğundan dahil değil) olur.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve mutlak değerin negatif olamayacağı özelliği
Soru 20Soru →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçel sayısının 33 noktasına olan uzaklığı, −1-1 noktasına olan uzaklığının 22 katından küçüktür.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlamayan xx tam sayıların��n toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -15

Cevap

Eşitsizliği sağlamayan tam sayıların toplamı -15'tir.
Doğru cevap, eşitsizliği sağlamayan tam sayıların [−5,1/3][-5, 1/3] kapalı aralığında yer alan −5,−4,−3,−2,−1-5, -4, -3, -2, -1 ve 00 sayıları olduğunu ve bu sayıların toplamının −15-15 olduğunu gösteren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Sözel olarak verilen ifadeyi mutlak değerli eşitsizlik formuna dönüştürün.
∣x−3∣<2∣x−(−1)∣⇒∣x−3∣<2∣x+1∣|x - 3| < 2|x - (-1)| \Rightarrow |x - 3| < 2|x + 1|
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık mutlak değerle ifade edilir.
2
Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alarak mutlak değerlerden kurtulun.
∣x−3∣2<(2∣x+1∣)2⇒(x−3)2<4(x+1)2|x - 3|^2 < (2|x + 1|)^2 \Rightarrow (x - 3)^2 < 4(x + 1)^2
Her iki taraf da negatif olmayan değerler aldığından karesi alındığında eşitsizliğin yönü değişmez.
3
Parantezleri açarak ifadeyi düzenleyin ve ikinci dereceden bir eşitsizlik elde edin.
x2−6x+9<4(x2+2x+1)⇒x2−6x+9<4x2+8x+4⇒3x2+14x−5>0x^2 - 6x + 9 < 4(x^2 + 2x + 1) \Rightarrow x^2 - 6x + 9 < 4x^2 + 8x + 4 \Rightarrow 3x^2 + 14x - 5 > 0
Eşitsizliğin bir tarafını sıfır yaparak kök analizi yapabilmek için tüm terimler sağ tarafa toplanır.
4
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırarak kökleri bulun.
3x2+14x−5=(3x−1)(x+5)>0⇒x1=−5, x2=133x^2 + 14x - 5 = (3x - 1)(x + 5) > 0 \Rightarrow x_1 = -5, \ x_2 = \frac{1}{3}
Eşitsizlik tablosu oluşturarak çözüm kümesini belirlemek için sınır değerler saptanır.
5
Eşitsizliği sağlayan ve sağlamayan aralıkları belirleyin.
Sağlayan aralık: x∈(−∞,−5)∪(13,∞)x \in (-\infty, -5) \cup \left(\frac{1}{3}, \infty\right) ve Sağlamayan aralık: x∈[−5,13]x \in \left[-5, \frac{1}{3}\right]
Baş katsayı pozitif olduğundan tablo + ∣ − ∣ ++ \ | \ - \ | \ + şeklinde işaretlenir. Sıfırdan büyük veya eşit olmayan (sağlamayan) bölge köklerin arasındaki kapalı aralıktır.
6
Eşitsizliği sağlamayan kapalı aralıktaki tam sayıları toplayın.
Tam sayılar: {−5,−4,−3,−2,−1,0}\{-5, -4, -3, -2, -1, 0\} olup toplamı: −5+(−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0=−15-5 + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 = -15
İstenen değer sağlamayan tam sayıların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin karesel çözüm yöntemi ve sınır değerlerinin tespiti
Tahmini Süre:2m 0s
Sayfa 1 / 2Sonraki
Mutlak Değerli Eşitsizlikler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin