Examkin

Soru

Zorluk: ZorKüme Problemleri

Bir spor kulübünde tenis, yüzme ve koşu branşlarından en az birini yapan sporcular bulunmaktadır. Bu sporcuların branşlara göre dağılımıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Sadece tenis branşını yapanların sayısı, yüzme branşını yapanların toplam sayısına eşittir.
* En az iki branş yapanların sayısı, sadece bir branş yapanların sayısının yarısı kadardır.
* Her üç branşı da yapan sporcu sayısı 44'tür.
* Koşu branşını yapmayan sporcu sayısı 2424'tür.

Buna göre, bu spor kulübünde hem tenis hem de yüzme yapıp koşu yapmayan sporcu sayısı en çok kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    8
  3. 10Cevap
  4. D
    12
  5. E
    14

Cevap

Hem tenis hem de yüzme yapıp koşu yapmayan sporcu sayısı en çok 10 olabilir.
Doğru yanıt 10'dur. Küme bölgeleri denkleştirildiğinde elde edilen 2b+2d+e=202b + 2d + e = 20 eşitliğinde, dd değerini maksimum yapmak için bb ve ee değerleri en küçük (0) seçilir. Bu durumda 2d=202d = 20 denkleminden d=10d = 10 bulunur. Bu değer diğer tüm koşulları ve pozitiflik şartlarını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin bölgelerini harflendirerek değişkenleri tanımlayalım.
Tenis (TT), Yüzme (YY) ve Koşu (KK) kümeleri için:
* Sadece tenis yapanlar: aa
* Sadece yüzme yapanlar: bb
* Sadece koşu yapanlar: cc
* Tenis ve yüzme yapıp koşu yapmayanlar: dd (Aranan bölge)
* Yüzme ve koşu yapıp tenis yapmayanlar: ee
* Tenis ve koşu yapıp yüzme yapmayanlar: ff
* Üçünü de yapanlar: g=4g = 4
Problemdeki sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için her bölgeye bir değişken atamamız gerekir.
2
Verilen koşullara göre denklemleri kuralım.
1) Sadece tenis yapanlar, yüzme yapanların toplamına eşittir:
a=b+d+e+g  ⟹  a=b+d+e+4a = b + d + e + g \implies a = b + d + e + 4

2) En az iki branş yapanlar, sadece bir branş yapanların yarısıdır:
d+e+f+g=a+b+c2  ⟹  2(d+e+f+4)=a+b+cd + e + f + g = \frac{a + b + c}{2} \implies 2(d + e + f + 4) = a + b + c

3) Koşu yapmayan sporcu sayısı 24'tür:
a+b+d=24a + b + d = 24
Soruda verilen kısıtları cebirsel olarak ifade ederek çözüm kümesini sınırlandırmak gerekir.
3
Birinci denklemdeki aa değerini üçüncü denklemde yerine yazalım.
(b+d+e+4)+b+d=24  ⟹  2b+2d+e+4=24  ⟹  2b+2d+e=20(b + d + e + 4) + b + d = 24 \implies 2b + 2d + e + 4 = 24 \implies 2b + 2d + e = 20
Değişken sayısını azaltarak aradığımız dd değişkeni ile diğer değişkenler arasındaki doğrudan ilişkiyi bulmak amaçlanır.
4
dd değerini en büyük yapmak için kısıtları inceleyelim.
2d=20−2b−e2d = 20 - 2b - e
Sporcu sayıları negatif olamayacağından b≥0b \ge 0 ve e≥0e \ge 0 olmalıdır. dd değerinin maksimum olması için 2b+e2b + e toplamı en küçük seçilmelidir. Bu toplam en az 00 olabilir (b=0,e=0b = 0, e = 0).
Bu durumda 2d=20  ⟹  d=102d = 20 \implies d = 10 bulunur.
Doğal sayı kısıtlamalarını kullanarak en büyük olası tam sayı değerini belirlemek gerekir.
5
Bulunan değerlerin diğer denklemlerle çelişip çelişmediğini kontrol edelim.
b=0b = 0, e=0e = 0, d=10d = 10 için a=14a = 14 olur. İkinci denklemde yerine yazıldığında:
2(10+0+f+4)=14+0+c  ⟹  28+2f=14+c  ⟹  c=14+2f2(10 + 0 + f + 4) = 14 + 0 + c \implies 28 + 2f = 14 + c \implies c = 14 + 2f elde edilir.
f=0f = 0 seçilirse c=14c = 14 olur. Tüm değişkenler negatif olmayan tam sayılar olduğundan bu çözüm geçerlidir.
Bulunan sınır değerinin küme kuralları çerçevesinde evrensel olarak tutarlı bir çözüm üretip üretmediğini doğrulamak gerekir.

Anahtar Kavram

Küme problemlerinde sözel verilerin Venn şeması bölgelerine göre harflendirilerek denklem sistemine dönüştürülmesi ve bu sistemin en büyük/en küçük değer kısıtları altında çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Küme Problemleri

Bu konudan daha fazla soru