Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bir sayı doğrusu üzerinde i��aretlenen sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* bb ile cc sayıları arasındaki uzaklık; bb sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığından, cc sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığı çıkarılarak bulunmaktadır.
* aa ile bb sayıları arasındaki uzaklık, bu iki sayının başlangıç noktasına olan uzaklıklarının toplamından küçüktür.

Buna göre,

I. a⋅c>0a \cdot c > 0
II. a⋅(b−c)>0a \cdot (b - c) > 0
III. a+c>ba + c > b

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Birinci ve ikinci ifadeler her zaman doğrudur.
Verilen koşullardan aa, bb ve cc sayılarının üçünün de aynı işaretli olduğu ve ∣b∣>∣c∣|b| > |c| olduğu bulunur. Bu durumda, aynı işaretli iki sayının çarpımı her zaman pozitif olacağından birinci öncül kesinlikle doğrudur. İkinci öncülde, sayılar pozitifken a>0a > 0 ve b−c>0b - c > 0 olacağından çarpım pozitiftir; sayılar negatifken ise a<0a < 0 ve b−c<0b - c < 0 olacağından çarpım yine pozitiftir. Bu nedenle birinci ve ikinci öncüller her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Uzaklık ifadelerini mutlak değer sembolleri kullanarak cebirsel olarak yazmak.
bb ile cc arasındaki uzaklık ∣b−c∣|b - c|, başlangıç noktasına olan uzaklıklar ∣b∣|b| ve ∣c∣|c| olduğundan birinci bilgi ∣b−c∣=∣b∣−∣c∣|b - c| = |b| - |c| olarak yazılır. İkinci bilgi ise benzer şekilde ∣a−b∣<∣a∣+∣b∣|a - b| < |a| + |b| eşitsizliğini verir.
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık farklarının mutlak değerine, bir noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığı ise o noktanın mutlak değerine eşittir.
2
∣b−c∣=∣b∣−∣c∣|b - c| = |b| - |c| eşitliğini incelemek.
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu negatif olamayacağından ∣b∣−∣c∣≥0  ⟹  ∣b∣≥∣c∣|b| - |c| \geq 0 \implies |b| \geq |c| olmalıdır. Eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında b2−2bc+c2=b2−2∣bc∣+c2  ⟹  bc=∣bc∣  ⟹  b⋅c≥0b^2 - 2bc + c^2 = b^2 - 2|bc| + c^2 \implies bc = |bc| \implies b \cdot c \geq 0 elde edilir. Sayılar sıfırdan farklı olduğu için bb ve cc aynı işaretlidir ve ∣b∣>∣c∣|b| > |c|'dir.
Mutlak değer dışına çıkarma kuralları ve mutlak değerin tanımı gereği, farkın mutlak değerinin mutlak değerler farkına eşit olması ancak bu sayıların aynı işaretli olması ve eksilen sayının mutlak değerce daha büyük olması durumunda mümkündür.
3
∣a−b∣<∣a∣+∣b∣|a - b| < |a| + |b| eşitsizliğini incelemek.
a⋅b>0a \cdot b > 0 olmalıdır. Dolayısıyla aa ve bb sayıları aynı işaretlidir.
Üçgen eşitsizliğine göre iki sayının farkının mutlak değeri, mutlak değerlerinin toplamından her zaman küçük veya eşittir. Eşitliğin sağlanmadığı (kesin küçüklük) durum, sayıların aynı işaretli ve sıfırdan farklı olduğu durumlardır.
4
Elde edilen işaretleri birleştirerek öncülleri test etmek.
aa ile bb aynı işaretli, bb ile cc de aynı işaretli olduğundan a,b,ca, b, c sayılarının üçü de aynı işaretlidir. I. öncül: a⋅c>0a \cdot c > 0 (Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitif olduğundan her zaman doğrudur). II. öncül: aa ve b−cb - c ifadelerinin işaretlerini inceleyelim. Sayılar pozitif ise b>c>0  ⟹  b−c>0b > c > 0 \implies b-c > 0 ve a>0  ⟹  a⋅(b−c)>0a > 0 \implies a \cdot (b - c) > 0 olur. Sayılar negatif ise b<c<0  ⟹  b−c<0b < c < 0 \implies b-c < 0 ve a<0  ⟹  a⋅(b−c)>0a < 0 \implies a \cdot (b - c) > 0 olur. Dolayısıyla her iki durumda da doğrudur. III. öncül: a=−2,b=−3,c=−1a = -2, b = -3, c = -1 için koşullar sağlanır ancak a+c=−3a+c = -3 ve b=−3b = -3 olup −3>−3-3 > -3 eşitsizliği sağlanmaz.
Her zaman doğruluk sorularında tüm değişkenlerin alabileceği olası işaret kombinasyonları test edilmeli ve karşıt örnekler araştırılmalıdır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin geometrik ve cebirsel özellikleri ile üçgen eşitsizliği
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru