Examkin

Soru

Zorluk: OrtaHız ve Hareket Problemleri

Bir kurye, A şehri ile B şehri arasındaki teslimat yolunun bir kısmını saatte sabit 60 km60\text{ km} hızla, kalan kısmını ise saatte sabit 90 km90\text{ km} hızla giderek tamamlamıştır. Kuryenin bu yolculuk boyunca ortalama hızı saatte 72 km72\text{ km}'dir.

Buna göre, kuryenin saatte 60 km60\text{ km} hızla gittiği yolun uzunluğunun, saatte 90 km90\text{ km} hızla gittiği yolun uzunluğuna oranı kaçtır?

  1. 1Cevap
  2. B
    32\frac{3}{2}
  3. C
    23\frac{2}{3}
  4. D
    45\frac{4}{5}
  5. E
    54\frac{5}{4}

Cevap

Kuryenin saatte 60 km hızla gittiği yolun uzunluğunun, saatte 90 km hızla gittiği yolun uzunluğuna oranı 1'dir.
Ortalama hız formülü (vort=d1+d2t1+t2v_{\text{ort}} = \frac{d_1 + d_2}{t_1 + t_2}) kullanılarak yapılan çözümde d1=d2d_1 = d_2 eşitliği elde edilir. Bu durum iki yol bölümünün uzunluklarının eşit olduğunu gösterir. Dolayısıyla bu uzunlukların birbirine oranı 1'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Yolun birinci kısmının uzunluğuna d1d_1, ikinci kısmının uzunluğuna d2d_2 diyelim. Bu kısımlarda geçen süreleri sırasıyla t1t_1 ve t2t_2 olarak tanımlayalım.
t1=d160t_1 = \frac{d_1}{60} ve t2=d290t_2 = \frac{d_2}{90} bağıntıları elde edilir.
Hız, yol ve zaman arasındaki temel ilişki olan t=dvt = \frac{d}{v} formülünü uygulamak için.
2
Ortalama hızın genel formülü olan vort=Toplam YolToplam Zamanv_{\text{ort}} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}} eşitliğini yazıp verilen değerleri yerine yerleştirelim.
72=d1+d2d160+d29072 = \frac{d_1 + d_2}{\frac{d_1}{60} + \frac{d_2}{90}} denklemi elde edilir.
Tüm seyahatin ortalama hız bilgisini kullanarak yollar arasındaki ilişkiyi kurmak için.
3
Elde edilen denklemde paydadaki rasyonel ifadelerin paydalarını eşitleyelim ve sadeleştirme yapalım.
Payda eşitlemesiyle d160+d290=3d1+2d2180\frac{d_1}{60} + \frac{d_2}{90} = \frac{3d_1 + 2d_2}{180} elde edilir. Buradan denklem 72=d1+d23d1+2d2180⇒72⋅(3d1+2d2180)=d1+d272 = \frac{d_1 + d_2}{\frac{3d_1 + 2d_2}{180}} \Rightarrow 72 \cdot \left(\frac{3d_1 + 2d_2}{180}\right) = d_1 + d_2 şekline gelir. 7272 ile 180180 sayılarını 3636 ile sadeleştirdiğimizde 25(3d1+2d2)=d1+d2\frac{2}{5}(3d_1 + 2d_2) = d_1 + d_2 olur.
Denklemi çözülebilir doğrusal bir forma getirmek için.
4
Elde edilen sadeleşmiş denklemde içler dışlar çarpımı yaparak benzer terimleri bir araya toplayalım.
2(3d1+2d2)=5(d1+d2)⇒6d1+4d2=5d1+5d2⇒d1=d22(3d_1 + 2d_2) = 5(d_1 + d_2) \Rightarrow 6d_1 + 4d_2 = 5d_1 + 5d_2 \Rightarrow d_1 = d_2 sonucu bulunur.
d1d_1 ve d2d_2 yolları arasındaki ilişkiyi doğrudan bulmak için.
5
d1=d2d_1 = d_2 eşitliğini kullanarak d1d2\frac{d_1}{d_2} oranını hesaplayalım.
d1d2=1\frac{d_1}{d_2} = 1 elde edilir.
Soruda istenen oran değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Ortalama hız, toplam yolun toplam süreye bölünmesiyle bulunur; hızların doğrudan veya yollara göre ağırlıklı ortalaması alınamaz.
Bu soruyu puanla

Konular

Hız ve Hareket Problemleri

Bu konudan daha fazla soru