Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPermütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

Bir hediyelik eşya dükkanında çalışan Aslı, yan yana duran 7 kutunun üzerine renkli şeritler yapıştıracaktır. Kutulardan 3 tanesine kırmızı, 3 tanesine mavi ve 1 tanesine beyaz şerit yapıştırılacaktır.

Aslı, beyaz şerit yapıştırılmış kutunun kırmızı şerit yapıştırılmış kutulardan herhangi biriyle yan yana olmasını istememektedir.

Buna göre, kutuların renklerine göre yan yana dizilimi kaç farklı şekilde yapılabilir?

  1. A
    20
  2. 40Cevap
  3. C
    60
  4. D
    80
  5. E
    140

Cevap

Kutuların renklerine göre yan yana dizilimi 40 farklı şekilde yapılabilir.
Doğru cevap 40'tır. Beyaz kutu dizilimin en solunda veya en sağında olduğunda, komşusu olan tek kutunun mavi olması gerekir; bu durumda kalan 5 kutu (3 kırmızı, 2 mavi) 10 farklı şekilde sıralanabilir. Beyaz kutu ortadaki 5 konumdan birinde olduğunda ise her iki komşusunun da mavi olması gerekir (Mavi-Beyaz-Mavi bloğu); bu durumda kalan 4 kutu (3 kırmızı, 1 mavi) 4 farklı şekilde sıralanabilir. Bu durumların toplamı olan 10+10+(5×4)=4010 + 10 + (5 \times 4) = 40 bize istenen dizilim sayısını verir.

Adım Adım Çözüm

1
Beyaz kutunun (B) dizilimdeki konumuna göre durumları sınıflandırma.
7 kutu yan yana dizildiğinde B kutusu 1. sırada, 7. sırada veya ortadaki 5 sıradan (2, 3, 4, 5, 6) birinde bulunabilir.
B kutusunun uç noktalarda (1. veya 7. sıra) olması ile ortada olması durumunda komşu olabileceği kutu sayısı farklıdır. Bu yüzden konuma göre incelemek çözümü kolaylaştırır.
2
B kutusunun uç noktalarda (1. veya 7. sıra) olduğu durumları hesaplama.
B kutusu 1. sırada ise yanındaki 2. sırada mutlaka Mavi (M) kutu bulunmalıdır. Geriye kalan 5 sıraya (3, 4, 5, 6, 7) ise 3 Kırmızı (K) ve 2 Mavi (M) kutu yerleştirilecektir. Bu yerleşim 5!3!2!=10\frac{5!}{3!2!} = 10 farklı şekilde yapılabilir. Benzer şekilde, B kutusu 7. sırada ise 6. sırada mutlaka Mavi kutu bulunmalıdır. Kalan 5 sıraya 3 K ve 2 M kutu 5!3!2!=10\frac{5!}{3!2!} = 10 farklı şekilde yerleştirilir.
Uç noktalardaki B kutusunun yalnızca tek bir komşusu vardır ve bu komşu kırmızı kutularla yan yana gelmeme koşulu gereği mutlaka mavi olmak zorundadır.
3
B kutusunun ortadaki 5 sıradan (2, 3, 4, 5, 6) birinde olduğu durumları hesaplama.
B kutusu ortadaki bir sırada olduğunda, hemen solundaki ve hemen sağındaki sıralarda mutlaka Mavi kutu bulunmalıdır. Bu durumda (Mavi - Beyaz - Mavi) şeklinde 3'lü sabit bir blok oluşur. Geriye kalan 4 boş sıraya ise kalan 3 Kırmızı ve 1 Mavi kutu yerleştirilecektir. Bu yerleşim 4!3!1!=4\frac{4!}{3!1!} = 4 farklı şekilde yapılabilir. Ortada 5 farklı konum (2, 3, 4, 5, 6. sıralar) olduğundan toplam durum: 5×4=205 \times 4 = 20 olur.
Ortadaki B kutusunun her iki yanındaki komşusu da mavi olmak zorundadır, bu da kalan elemanların sayısını ve dizilimini belirler.
4
Elde edilen tüm durumları toplayarak toplam geçerli dizilim sayısını bulma.
Toplam dizilim sayısı: 10 (sol uc¸)+10 (sag˘ uc¸)+20 (orta konumlar)=4010 \text{ (sol uç)} + 10 \text{ (sağ uç)} + 20 \text{ (orta konumlar)} = 40 farklı şekilde dizilim yapılabilir.
Bütün konum durumları ayrık olduğundan, elde edilen sonuçların toplamı genel sonucu verir.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon ve koşullu sıralama problemlerinde tüm durumlardan istenmeyen durumların çıkarılması veya boşluk yöntemiyle güvenli konumların belirlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Permütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru