Çevresi 720 metre olan dairesel bir pist, her biri 360 metre uzunluğunda olan asfalt ve to… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Çevresi $720$ metre olan dairesel bir pist, her biri $360$ metre uzunluğunda olan asfalt ve toprak olmak üzere iki eşit bölüme ayrılmıştır. Kerem ve Selim isimli iki koşucunun bu pistin farklı bölümlerindeki sabit hızları aşağıdaki gibidir:

* Kerem'in hızı asfalt bölümde $6\text{ m/sn}$ , toprak bölümde $3\text{ m/sn}$ 'dir.
* Selim'in hız�� asfalt bölümde $8\text{ m/sn}$ , toprak bölümde $2\text{ m/sn}$ 'dir.

İki koşucu aynı anda, asfalt ve toprak bölümlerin sınır çizgisi olan başlangıç noktasından, asfalt bölüme doğru aynı yönde koşmaya başlamışlardır.

Buna göre, harekete başladıkları andan itibaren ilk $45$ dakika boyunca (başlangıç anı hariç) bu iki koşucu toplam kaç kez yan yana gelirler?

A
3
B
4
C
5
6Cevap
E
30

Cevap

Koşucular ilk 45 dakika boyunca toplam 6 kez yan yana gelirler.

Koşucuların bir tam tur süreleri hesaplandığında Kerem'in tur süresi 180 saniye, Selim'in ise 225 saniyedir. Bu sürelerin en küçük ortak katı olan 900 saniyede bir her iki koşucu da başlangıç noktasına aynı anda ulaşarak hareketi sıfırlar. 900 saniyelik bir periyot boyunca yapılan analizde koşucuların ilki 90. saniyede toprak pist üzerinde, ikincisi ise 900. saniyede başlangıç çizgisinde olmak üzere tam 2 kez yan yana geldiği görülür. 45 dakika (2700 saniye) bu periyodun 3 katı olduğu için toplamda 6 karşılaşma gerçekleşir. Bu nedenle 6 olan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Koşucuların pistin her bir bölümünü tamamlama sürelerini bulalım.

Kerem'in asfalt bölümü geçiş süresi:

360 / 6 = 60\text{ sn}

, toprak bölümü geçiş süresi:

360 / 3 = 120\text{ sn}

'dir. Bir tam tur süresi:

60 + 120 = 180\text{ sn}

. Selim'in asfalt bölümü geçiş süresi:

360 / 8 = 45\text{ sn}

, toprak bölümü geçiş süresi:

360 / 2 = 180\text{ sn}

'dir. Bir tam tur süresi:

45 + 180 = 225\text{ sn}

Koşucuların hareket periyotlarını belirlemek için tur sürelerini hesaplamamız gerekir.

Sistemin ortak periyodunu belirleyelim.

İki koşucunun da tekrar başlangıç noktasına aynı anda gelmesi için geçen süre, tur sürelerinin en kü��ük ortak katıdır:

\text{EKOK}(180, 225) = 900\text{ sn}

Her 900 saniyede bir her iki koşucu da aynı anda başlangıç noktasına döner ve hareket tamamen aynı şekilde periyodik olarak tekrarlanır.

İlk periyottaki (

t \in (0, 900]

aralığındaki) karşılaşma anlarını analiz edelim.

Koşucuların yan yana gelmesi, aldıkları yolların farkının pistin çevresi olan

720

metrenin tam katı olması demektir (

D_K(t) - D_S(t) = 720k

).
-

t \in [0, 45]

aralığında: Her ikisi de asfalt bölümde. Kerem'in hızı

6\text{ m/sn}

, Selim'in hızı

8\text{ m/sn}

. Yol farkı

2t

olur.

2t = 720

için

t=360

olmalıdır, bu aralıkta karşılaşma yoktur.
-

t \in [45, 60]

aralığında: Kerem asfalt (

6\text{ m/sn}

), Selim toprak bölümde (

2\text{ m/sn}

). Yol farkı sıfırlanmaz.
-

t \in [60, 180]

aralığında: Her ikisi de toprak bölümde. Kerem'in hızı

3\text{ m/sn}

, Selim'in hızı

2\text{ m/sn}

t=60

'ta Kerem

360\text{ m}

, Selim

390\text{ m}

yol almıştır (Selim

30\text{ m}

önde). Saniyede

3 - 2 = 1\text{ metre}

fark kapanarak

30 / 1 = 30\text{ sn}

sonra, yani

60 + 30 = 90

. saniyede yan yana gelirler. (1. karşılaşma)
-

t \in (180, 900)

aralığında benzer şekilde yol denklemleri çözüldüğünde başka bir karşılaşma olmadığı görülür.
-

t = 900

. saniyede ise her iki koşucu da başlangıç noktasında yan yana gelir. (2. karşılaşma)

Periyot içindeki tüm olası karşılaşma anlarını ve konumlarını belirlemek için parçalı fonksiyon analizi yapılır.

Toplam süredeki periyot sayısını ve toplam karşılaşma sayısını bulalım.

45\text{ dakika} = 45 \times 60 = 2700\text{ saniye}

.
Periyot sayısı:

2700 / 900 = 3

periyottur.
Toplam karşılaşma sayısı:

3 \times 2 = 6

kez gerçekleşir.

Periyodik hareketin toplam süreye oranlanmasıyla toplam karşılaşma sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Hız ve hareket problemlerinde değişken hızlı dairesel hareket ve periyodik karşılaşma süresi analizi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru