Examkin

Soru

Zorluk: KolayBire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Bire bir ve örten fonksiyon tanımlarını inceleyen bir öğrenci, aşağıdaki üç farklı fonksiyonu ele alıyor:

I. f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1
II. g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=x2g(x) = x^2
III. h:N→Nh: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, h(x)=x+3h(x) = x + 3

Buna göre; ff, gg ve hh fonksiyonlarından hangileri bire bir olduğu hâlde örten değildir?

  1. A
    Yaln��z I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve III
Birinci öncüldeki f fonksiyonu ve üçüncü öncüldeki h fonksiyonu, elemanların farklı elemanlarla eşleşmesi nedeniyle bire birdir. Ancak tam sayılar ve doğal sayılar kümelerinin sınırları nedeniyle değer kümelerinde eşleşmeyen elemanlar kalmaktadır. Dolayısıyla bu iki fonksiyon bire bir olduğu hâlde örten değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncüldeki f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun bire birlik ve örtenlik durumunu incelemek.
ff fonksiyonu bire birdir fakat örten değildir.
2a+1=2b+1  ⟹  a=b2a+1 = 2b+1 \implies a=b olduğundan bire birdir. Değer kümesindeki çift tam sayılara (örneğin 00 veya 22) ulaşan bir tam sayı bulunamadığı için örten değildir.
2
İkinci öncüldeki g(x)=x2g(x) = x^2 fonksiyonunun bire birlik ve örtenlik durumunu incelemek.
gg fonksiyonu ne bire bir ne de örtendir.
g(−1)=g(1)=1g(-1) = g(1) = 1 olduğundan bire bir değildir. Negatif gerçek sayıların karekökü gerçek sayı olmadığından (örneğin x2=−1x^2 = -1 denkleminin gerçel çözümü yoktur) örten değildir.
3
Üçüncü öncüldeki h(x)=x+3h(x) = x + 3 fonksiyonunun bire birlik ve örtenlik durumunu incelemek.
hh fonksiyonu bire birdir fakat örten değildir.
a+3=b+3  ⟹  a=ba+3 = b+3 \implies a=b olduğundan bire birdir. Tanım kümesi doğal sayılar olduğundan, değer kümesindeki 0,1,20, 1, 2 elemanlarının (x+3=0  ⟹  x=−3∉Nx+3=0 \implies x=-3 \notin \mathbb{N}) ön görüntüsü yoktur. Dolayısıyla örten değildir.

Anahtar Kavram

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar
Bu soruyu puanla

Konular

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru