Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri
A={1,2,3,…,100}A = \{1, 2, 3, \dots, 100\} kümesinin boş olmayan bir BB alt kümesi için;
* B2={x∈B∣x c¸ifttir}B_2 = \{x \in B \mid x \text{ çifttir}\}
* B3={x∈B∣x,3 ile tam bo¨lu¨nu¨r}B_3 = \{x \in B \mid x, 3 \text{ ile tam bölünür}\}
* B5={x∈B∣x,5 ile tam bo¨lu¨nu¨r}B_5 = \{x \in B \mid x, 5 \text{ ile tam bölünür}\}
alt kümeleri tanımlanıyor.
s(B2∪B3)=48s(B_2 \cup B_3) = 48
s(B3∪B5)=32s(B_3 \cup B_5) = 32
s(B2∪B5)=42s(B_2 \cup B_5) = 42
s(B2∩B3∩B5)=3s(B_2 \cap B_3 \cap B_5) = 3

olduğuna göre, BB kümesinin elemanlarından 2, 3 veya 5 sayılarından en az biri ile tam bölünenlerin toplam sayısı en fazla kaç olabilir?

  1. A
    52
  2. 55Cevap
  3. C
    57
  4. D
    59
  5. E
    61

Cevap

En fazla 55 eleman olabilir.
Doğru yanıt 55'tir. Evrensel küme olan {1, 2, ..., 100} kümesinin elemanlarının bölünebilme özellikleri incelendiğinde, sadece 5 ile bölünüp 2 veya 3 ile bölünmeyen eleman sayısının (c) en fazla 7 olabileceği görülür. Buradan hareketle S - 48 = c <= 7 eşitsizliğinden birleşim kümesinin eleman sayısı en fazla 55 olarak bulunur. Bu değer için kümenin diğer alt bölge eleman sayıları da evrensel kümenin sınırları ile çelişmemektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Venn şemasındaki bölgeleri harflendirip denklemleri kuralım.
S=s(B2∪B3∪B5)S = s(B_2 \cup B_3 \cup B_5) olsun.
s(B2∪B3)=S−c=48  ⟹  c=S−48s(B_2 \cup B_3) = S - c = 48 \implies c = S - 48
s(B3∪B5)=S−a=32  ⟹  a=S−32s(B_3 \cup B_5) = S - a = 32 \implies a = S - 32
s(B2∪B5)=S−b=42  ⟹  b=S−42s(B_2 \cup B_5) = S - b = 42 \implies b = S - 42
Burada aa, bb, cc sırasıyla sadece 2 ile, sadece 3 ile ve sadece 5 ile bölünen eleman sayılarıdır.
Birleşim kümesinin eleman sayısını bulmak için her bir kümenin diğer ikisiyle kesişmeyen bağımsız bölgelerini tanımlamamız gerekir.
2
Birleşim kümesinin toplam eleman sayısını (SS) veren denklemi d��zenleyelim.
S=a+b+c+d+e+f+gS = a + b + c + d + e + f + g
Burada d=s((B2∩B3)∖B5)d = s((B_2 \cap B_3) \setminus B_5), e=s((B3∩B5)∖B2)e = s((B_3 \cap B_5) \setminus B_2), f=s((B2∩B5)∖B3)f = s((B_2 \cap B_5) \setminus B_3) ve g=s(B2∩B3∩B5)=3g = s(B_2 \cap B_3 \cap B_5) = 3 olarak verilmiştir.
S=(S−32)+(S−42)+(S−48)+d+e+f+3S = (S - 32) + (S - 42) + (S - 48) + d + e + f + 3
S=3S−119+d+e+f  ⟹  2S=119−(d+e+f)S = 3S - 119 + d + e + f \implies 2S = 119 - (d + e + f) elde edilir.
Venn şemasındaki tüm ayrık bölgelerin toplamı birleşim kümesinin eleman sayısını verir.
3
A={1,2,3,…,100}A = \{1, 2, 3, \dots, 100\} evrensel kümesindeki sayıların bölünebilme özelliklerine göre sınırları belirleyelim.
cc, 5 ile bölünüp 2 veya 3 ile bölünmeyen sayıların sayısıdır. AA kümesinde 5'in katı olup 2 veya 3'ün katı olmayan sayılar: {5,25,35,55,65,85,95}\{5, 25, 35, 55, 65, 85, 95\} olmak üzere 7 tanedir. Dolayısıyla c≤7c \le 7 olmalıdır.
c=S−48≤7  ⟹  S≤55c = S - 48 \le 7 \implies S \le 55 elde edilir.

Benzer şekilde:
* bb (3 ile bölünüp 2 veya 5 ile bölünmeyenler): En fazla 14 tanedir (b≤14  ⟹  S−42≤14  ⟹  S≤56b \le 14 \implies S - 42 \le 14 \implies S \le 56).
* aa (2 ile bölünüp 3 veya 5 ile bölünmeyenler): En fazla 27 tanedir (a≤27  ⟹  S−32≤27  ⟹  S≤59a \le 27 \implies S - 32 \le 27 \implies S \le 59).
Kümeler AA kümesinin alt kümesi olduğundan, her bölgedeki eleman sayısı, AA kümesinde o koşulu sağlayan maksimum eleman sayısını aşamaz.
4
Elde edilen sınırlar çerçevesinde SS'in en büyük değerini doğrulayalım.
S≤55S \le 55 olmalıdır. S=55S = 55 için 2S=119−(d+e+f)  ⟹  110=119−(d+e+f)  ⟹  d+e+f=92S = 119 - (d+e+f) \implies 110 = 119 - (d+e+f) \implies d+e+f = 9 olmalıdır.
AA kümesinde:
* dd (6'nın katı olup 5'in katı olmayanlar) en fazla 13 tanedir.
* ee (15'in katı olup çift olmayanlar) en fazla 3 tanedir.
* ff (10'un katı olup 3'ün katı olmayanlar) en fazla 7 tanedir.
d+e+f=9d+e+f = 9 olacak şekilde d≤13d \le 13, e≤3e \le 3, f≤7f \le 7 koşullarına uygun negatif olmayan tam sayılar seçilebilir (örneğin d=4,e=1,f=4d=4, e=1, f=4). Dolayısıyla en fazla 55 eleman olabilir.
Belirlenen en büyük SS değeri için diğer alt bölgelerin eleman sayılarının tam sayı ve sıfırdan büyük ya da eşit olabildiği doğrulanmış olur.

Anahtar Kavram

Kümelerde kesişim ve birleşim işlemleri ile eleman sayısı hesaplama
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru