Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParçalı Fonksiyonlar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)={3x−2,x<22x+a,x≥2f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & x < 2 \\ 2x + a, & x \geq 2 \end{cases} parçalı fonksiyonunun örten bir fonksiyon olması için aa gerçel sayısı en fazla 00 olmalıdır.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen ifade doğrudur çünkü parçalı fonksiyonun dallarına ait görüntü kümelerinin birleşimi olan (−∞,4)∪[4+a,∞)(-\infty, 4) \cup [4 + a, \infty) kümesinin tüm gerçel sayılar kümesini (R\mathbb{R}) kaplaması için sınır değerlerin 4+a≤44 + a \leq 4 koşulunu sağlaması gerekir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde a≤0a \leq 0 bulunur ve aa gerçel sayısının en fazla 00 olabileceği doğrulanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parçalı fonksiyonun dallarının ayrı ayrı görüntü kümelerini bulalım.
x<2x < 2 için 3x−2<43x - 2 < 4 olduğundan ilk dalın görüntü kümesi A=(−∞,4)A = (-\infty, 4) aralığıdır. x≥2x \geq 2 için 2x+a≥4+a2x + a \geq 4 + a olduğundan ikinci dalın görüntü kümesi B=[4+a,∞)B = [4 + a, \infty) aralığıdır.
Parçalı fonksiyonun toplam görüntü kümesini elde etmek için her bir tanım aralığına karşılık gelen değer sınırlarını belirlememiz gerekir.
2
Fonksiyonun örten olması koşulunu uygulayalım.
Fonksiyonun örten olması için görüntü kümesi değer kümesine eşit olmalıdır. Değer kümesi gerçel sayılar kümesi (R\mathbb{R}) olarak verildiğinden, A∪B=RA \cup B = \mathbb{R} yani (−∞,4)∪[4+a,∞)=R(-\infty, 4) \cup [4 + a, \infty) = \mathbb{R} olmalıdır.
Örten fonksiyon tanımı gereği, tanım kümesindeki elemanların eşlendiği değerlerin birleşimi tüm değer kümesini örtmelidir.
3
aa parametresi için elde edilen aralık sınır eşitsizliğini çözelim.
İki aralığın birleşiminin gerçel sayılar doğrusunda boşluk bırakmaması için ikinci aralığın başlangıç sınırı, ilk aralığın bitiş sınırından büyük olmamalıdır: 4+a≤4⇒a≤04 + a \leq 4 \Rightarrow a \leq 0 olur. Buradan aa gerçel sayısının alabileceği en büyük (en fazla) değer 00 olarak bulunur.
Eğer 4+a>44+a > 4 olsaydı, iki aralık arasında boşluk kalır ve fonksiyon örten olamazdı.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda görüntü kümesi bulma ve örtenlik şartı inceleme
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru