Examkin

Parçalı Fonksiyonlar

7 soru

Tüm türler7Çoktan seçmeli3Doğru / Yanlış2Sayısal2
Soru 1Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu

f(x)={2x+5,x<3 ise10−x,x≥3 isef(x) = \begin{cases} 2x + 5, & x < 3 \text{ ise} \\ 10 - x, & x \geq 3 \text{ ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(1)+f(4)f(1) + f(4) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

f(1) + f(4) toplamının değeri 13'tür.
f(1) değerini bulmak için x = 1 değeri x < 3 aralığına uyduğundan 2x + 5 formülünde yerine yazılarak 7 bulunur. f(4) değerini bulmak için x = 4 değeri x >= 3 aralığına uyduğundan 10 - x formülünde yerine yazılarak 6 bulunur. Bu iki değerin toplamından 7 + 6 = 13 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
f(1) değerini hesaplama
f(1) = 7
1 sayısı 3'ten küçük olduğu için fonksiyonun üst dalındaki 2x + 5 kuralı uygulanır.
2
f(4) değerini hesaplama
f(4) = 6
4 sayısı 3'ten büyük veya eşit olduğu için fonksiyonun alt dalındaki 10 - x kuralı uygulanır.
3
Değerlerin toplamını bulma
7 + 6 = 13
İstenen f(1) + f(4) toplamına ulaşmak için bulduğumuz iki değer toplanır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda bir noktadaki fonksiyon değerini bulmak için noktanın yer aldığı aralığa karşılık gelen kural kullanılır.
Soru 2Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu

f(x)={x+3,x<1 ise−(x−3)2+a,x≥1 isef(x) = \begin{cases} x + 3, & x < 1 \text{ ise} \\ -(x-3)^2 + a, & x \geq 1 \text{ ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

(f∘f)(x)=a(f \circ f)(x) = a eşitliğini sağlayan yalnızca 3 farklı xx gerçel sayısı olduğuna göre, aa tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Doğru yanıt 22'dir. f(f(x))=af(f(x)) = a denkleminin 3 farklı kökü olması için 4≤a≤74 \leq a \leq 7 olmalıdır. Bu aralıktaki aa tam sayıları 4,5,6,74, 5, 6, 7 olup toplamları 2222'dir.
Doğru yanıt olan 22 değeri, f(f(x))=af(f(x)) = a denkleminin 3 farklı gerçel kökü olmasını sağlayan 4≤a≤74 \leq a \leq 7 koşulundaki 4,5,6,74, 5, 6, 7 tam sayılarının toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyon tanımını kullanarak denklemi düzenleme
f(f(x))=af(f(x)) = a denklemi elde edilir. Burada f(x)=yf(x) = y dönüşümü yapılarak öncelikle f(y)=af(y) = a denklemi çözülür.
Bileşke fonksiyon işlemlerini adım adım çözmek amacıyla içteki ifadeye yeni bir değişken atanır.
2
f(y)=af(y) = a denkleminin köklerini parçalı tanıma göre bulma
y<1y < 1 için y+3=a  ⟹  y=a−3y + 3 = a \implies y = a - 3 (bu kökün geçerli olması için a<4a < 4 olmalı). y≥1y \geq 1 için −(y−3)2+a=a  ⟹  (y−3)2=0  ⟹  y=3-(y-3)^2 + a = a \implies (y-3)^2 = 0 \implies y = 3 (daima geçerli çünkü 3≥13 \geq 1).
Değişkenin tanım aralıklarına göre hangi koşullarda kök oluşturabileceği incelenir.
3
aa parametresinin durumlarına göre kök sayılarını analiz etme
a≥4a \geq 4 durumunda tek geçerli ara değer y=3y = 3 olur. f(x)=3f(x) = 3 denkleminin çözümü: x<1  ⟹  x=0x < 1 \implies x = 0 (1 kök) ve x≥1  ⟹  −(x−3)2+a=3  ⟹  (x−3)2=a−3x \geq 1 \implies -(x-3)^2 + a = 3 \implies (x-3)^2 = a - 3. Bu ikinci kısmın iki farklı gerçel kökü olması ve köklerin ≥1\geq 1 kalması için 3−a−3≥1  ⟹  a≤73 - \sqrt{a-3} \geq 1 \implies a \leq 7 olmalıdır. Dolayısıyla 4≤a≤74 \leq a \leq 7 aralığında toplamda 3 kök (x1=0x_1 = 0, x2=3−a−3x_2 = 3 - \sqrt{a-3}, x3=3+a−3x_3 = 3 + \sqrt{a-3}) elde edilir. a<4a < 4 durumunda ise y=a−3y = a-3 ve y=3y = 3 olmak üzere iki farklı değer oluşur ve toplam kök sayısı 3'ten farklı olur.
Köklerin tanım kümelerine uygunluğunu denetleyerek tam olarak 3 kök sağlayan aralık belirlenir.
4
aa tam sayılarının toplamını hesaplama
aa tam sayısı 4,5,6,74, 5, 6, 7 değerlerini alabilir. Toplamları 4+5+6+7=224 + 5 + 6 + 7 = 22 olur.
Koşulu sağlayan tüm tam sayılar toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma ve bileşke fonksiyon denklemlerinin çözümü
Soru 3Soru →

Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu

f(x)={x2−1,x tek sayı ise2x+3,x c¸ift sayı isef(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & x \text{ tek sayı ise} \\ 2x + 3, & x \text{ çift sayı ise} \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(3)+f(4)f(3) + f(4) toplamının değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Fonksiyon değerlerinin toplamı 19'dur.
Doğru cevap olan 19 değerine ulaşmak için, 3 sayısının tek sayı olduğu belirlenip x2−1x^2 - 1 kuralıyla f(3)=8f(3) = 8 hesaplanır. Ardından, 4 sayısının çift sayı olduğu belirlenip 2x+32x + 3 kuralıyla f(4)=11f(4) = 11 hesaplanır. Bu iki değerin toplamı 8+11=198 + 11 = 19 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
3 sayısının tek veya çift olma durumunu inceleyip uygun fonksiyon kuralını seçerek f(3)f(3) değerini hesaplamak.
f(3)=8f(3) = 8
3 bir tek sayı olduğundan parçalı fonksiyonun ilk kuralı olan f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 kullanılır. Buradan f(3)=32−1=9−1=8f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8 elde edilir.
2
4 sayısının tek veya çift olma durumunu inceleyip uygun fonksiyon kuralını seçerek f(4)f(4) değerini hesaplamak.
f(4)=11f(4) = 11
4 bir çift sayı olduğundan parçalı fonksiyonun ikinci kuralı olan f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 kullanılır. Buradan f(4)=2(4)+3=8+3=11f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 elde edilir.
3
Elde edilen f(3)f(3) ve f(4)f(4) değerlerini toplamak.
8+11=198 + 11 = 19
Soruda bizden f(3)+f(4)f(3) + f(4) toplamı istendiği için bulunan değerler toplanır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda, girdi değerinin tanım aralıklarından veya koşullarından hangisini sağladığı belirlenmeli ve sadece o koşula ait olan kural uygulanmalıdır.
Tahmini Süre:50s
Soru 4Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)={x+3,x<0x2−2x−3,x≥0f(x) = \begin{cases} x + 3, & x < 0 \\ x^2 - 2x - 3, & x \geq 0 \end{cases}
biçiminde tanımlanmaktadır.
Buna göre, (f∘f)(x)=−3(f \circ f)(x) = -3 eşitliğini sağlayan 55 farklı gerçel sayı değeri vardır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Eşitliği sağlayan xx gerçel sayılarının oluşturduğu küme {−9,−3,−1,3,1+6}\{-9, -3, -1, 3, 1 + \sqrt{6}\} olup 55 elemanlıdır.
Bileşke fonksiyon eşitliğinde dıştan içe yapılan analizlerle elde edilen uu değerleri için parçalı fonksiyonun aralık sınırlarına uyan tam 55 adet bağımsız gerçel sayı kökü (x=−9,−3,−1,3,1+6x = -9, -3, -1, 3, 1 + \sqrt{6}) tespit edilmiştir. Bu durum ifadenin doğruluğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=uf(x) = u dönüşümü yapılarak f(u)=−3f(u) = -3 denklemi çözülür.
u<0u < 0 için u+3=−3⇒u=−6u + 3 = -3 \Rightarrow u = -6 bulunur (−6<0-6 < 0 koşulunu sağlar).
u≥0u \geq 0 için u2−2u−3=−3⇒u(u−2)=0u^2 - 2u - 3 = -3 \Rightarrow u(u-2) = 0 denkleminden u=0u = 0 veya u=2u = 2 bulunur (her iki değer de ≥0\geq 0 koşulunu sağlar).
Bileşke fonksiyon tanımı gereği içteki fonksiyonun değer aralığı, dıştaki fonksiyonun tanım kümesine göre değerlendirilmelidir.
2
u=−6u = -6 için f(x)=−6f(x) = -6 denkleminin gerçel kökleri bulunur.
x<0x < 0 için x+3=−6⇒x=−9x + 3 = -6 \Rightarrow x = -9 bulunur (aralığa uygundur).
x≥0x \geq 0 için x2−2x−3=−6⇒x2−2x+3=0x^2 - 2x - 3 = -6 \Rightarrow x^2 - 2x + 3 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=4−12=−8<0\Delta = 4 - 12 = -8 < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur.
Elde edilen uu değerini veren xx girdileri, parçalı fonksiyonun iki ayrı dalı için de sorgulanmalıdır.
3
u=0u = 0 için f(x)=0f(x) = 0 denkleminin gerçel kökleri bulunur.
x<0x < 0 için x+3=0⇒x=−3x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 bulunur (aralığa uygundur).
x≥0x \geq 0 için x2−2x−3=0⇒(x−3)(x+1)=0x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0 denkleminin kökleri x=3x = 3 ve x=−1x = -1 olup aralık koşulunu (x≥0x \geq 0) yalnızca x=3x = 3 sağlar.
f(x)=0f(x) = 0 denkleminin kökleri bulunurken her dalın kendi tanım aralığı ile kesişimi alınmalıdır.
4
u=2u = 2 için f(x)=2f(x) = 2 denkleminin gerçel kökleri bulunur.
x<0x < 0 için x+3=2⇒x=−1x + 3 = 2 \Rightarrow x = -1 bulunur (aralığa uygundur).
x≥0x \geq 0 için x2−2x−3=2⇒x2−2x−5=0x^2 - 2x - 3 = 2 \Rightarrow x^2 - 2x - 5 = 0 denkleminin kökleri x=1±6x = 1 \pm \sqrt{6} olup aralık koşulunu (x≥0x \geq 0) yalnızca x=1+6x = 1 + \sqrt{6} sağlar (1−6<01 - \sqrt{6} < 0 olduğundan elenir).
İkinci dereceden denklemin köklerinden hangisinin tanım kümesi sınırlarına dahil olduğu incelenmelidir.
5
Bulunan tüm gerçel kökler birleştirilerek çözüm kümesinin eleman sayısı belirlenir.
Çözüm kümesi {−9,−3,−1,3,1+6}\{-9, -3, -1, 3, 1 + \sqrt{6}\} olarak bulunur. Bu kümede 55 farklı gerçel sayı vardır.
Farklı durumlardan elde edilen bağımsız tüm köklerin toplam sayısı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda bileşke işlemi içeren denklemleri çözerken tanım aralıklarına ve sınır değerlerine göre analiz yapma.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 5Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)={3x−2,x<22x+a,x≥2f(x) = \begin{cases} 3x - 2, & x < 2 \\ 2x + a, & x \geq 2 \end{cases} parçalı fonksiyonunun örten bir fonksiyon olması için aa gerçel sayısı en fazla 00 olmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen ifade doğrudur çünkü parçalı fonksiyonun dallarına ait görüntü kümelerinin birleşimi olan (−∞,4)∪[4+a,∞)(-\infty, 4) \cup [4 + a, \infty) kümesinin tüm gerçel sayılar kümesini (R\mathbb{R}) kaplaması için sınır değerlerin 4+a≤44 + a \leq 4 koşulunu sağlaması gerekir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde a≤0a \leq 0 bulunur ve aa gerçel sayısının en fazla 00 olabileceği doğrulanır.

Adım Adım Çözüm

1
Parçalı fonksiyonun dallarının ayrı ayrı görüntü kümelerini bulalım.
x<2x < 2 için 3x−2<43x - 2 < 4 olduğundan ilk dalın görüntü kümesi A=(−∞,4)A = (-\infty, 4) aralığıdır. x≥2x \geq 2 için 2x+a≥4+a2x + a \geq 4 + a olduğundan ikinci dalın görüntü kümesi B=[4+a,∞)B = [4 + a, \infty) aralığıdır.
Parçalı fonksiyonun toplam görüntü kümesini elde etmek için her bir tanım aralığına karşılık gelen değer sınırlarını belirlememiz gerekir.
2
Fonksiyonun örten olması koşulunu uygulayalım.
Fonksiyonun örten olması için görüntü kümesi değer kümesine eşit olmalıdır. Değer kümesi gerçel sayılar kümesi (R\mathbb{R}) olarak verildiğinden, A∪B=RA \cup B = \mathbb{R} yani (−∞,4)∪[4+a,∞)=R(-\infty, 4) \cup [4 + a, \infty) = \mathbb{R} olmalıdır.
Örten fonksiyon tanımı gereği, tanım kümesindeki elemanların eşlendiği değerlerin birleşimi tüm değer kümesini örtmelidir.
3
aa parametresi için elde edilen aralık sınır eşitsizliğini çözelim.
İki aralığın birleşiminin gerçel sayılar doğrusunda boşluk bırakmaması için ikinci aralığın başlangıç sınırı, ilk aralığın bitiş sınırından büyük olmamalıdır: 4+a≤4⇒a≤04 + a \leq 4 \Rightarrow a \leq 0 olur. Buradan aa gerçel sayısının alabileceği en büyük (en fazla) değer 00 olarak bulunur.
Eğer 4+a>44+a > 4 olsaydı, iki aralık arasında boşluk kalır ve fonksiyon örten olamazdı.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda görüntü kümesi bulma ve örtenlik şartı inceleme
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 6Soru →
Tanım kümesi gerçel sayılar olan ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)={x2−a,x<33x−5,x≥3f(x) = \begin{cases} x^2 - a, & x < 3 \\ 3x - 5, & x \geq 3 \end{cases}
şeklinde tanımlanmıştır.
f(f(2))=4f(f(2)) = 4
olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

a = 1
a = 1 gerçel sayısı için f(2) değeri hesaplandığında 2 < 3 olduğundan 2² - 1 = 3 elde edilir. Daha sonra f(f(2)) yani f(3) değeri aranır. 3 >= 3 olduğundan ikinci parça kullanılarak 3(3) - 5 = 4 bulunur. Bu değer soruda verilen eşitliği tam olarak sağladığından aranan değer 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İçteki f(2) değerini bulmak amacıyla x = 2 girdisi için geçerli olan aralık belirlenir.
2 < 3 olduğu için birinci parça olan x² - a kuralı seçilir. f(2) = 2² - a = 4 - a elde edilir.
Parçalı fonksiyonda işlem yaparken girdinin ait olduğu tanım aralığına göre kural seçilmelidir.
2
f(f(2)) = 4 e��itliğinde f(2) yerine 4 - a yazılarak f(4 - a) = 4 denklemi kurulur ve 4 - a girdisinin aralık durumları incelenir.
Durum 1: 4 - a >= 3 (yani a <= 1) ise f(4 - a) = 3(4 - a) - 5 olur.
Durum 2: 4 - a < 3 (yani a > 1) ise f(4 - a) = (4 - a)² - a olur.
Girdinin bilinmeyen a parametresine bağlı olması nedeniyle fonksiyonun her iki dalı için de olası çözümler test edilmelidir.
3
Birinci durum için elde edilen 3(4 - a) - 5 = 4 denklemi çözülür.
12 - 3a - 5 = 4
7 - 3a = 4
3a = 3
a = 1 bulunur. a = 1 değeri a <= 1 koşulunu sağladığı için geçerli bir çözümdür.
Varsayılan aralık koşulunun bulunan parametre değeriyle çelişmediği doğrulanmalıdır.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda bileşke işlemi gerçekleştirilirken, her bir fonksiyon adımında elde edilen çıktıların bir sonraki adım için girdi olduğu unutulmamalı ve bu girdilerin tanımlı olduğu uygun aralıktaki fonksiyon kuralları uygulanmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 7Soru →

Bir otoparkın ücret tarifesi, aracın otoparkta kaldığı süre olan tt (saat) cinsinden aşağıdaki parçalı fonksiyon ile belirlenmektedir:

U¨(t)={20,0<t≤220+8(t−2),2<t≤652+5(t−6),t>6Ü(t) = \begin{cases} 20, & 0 < t \le 2 \\ 20 + 8(t-2), & 2 < t \le 6 \\ 52 + 5(t-6), & t > 6 \end{cases}

Bu otoparkta farklı sürelerde kalan iki aracın otoparkta kaldıkları süreler saat cinsinden birer pozitif tam sayıdır.

Bu iki aracın otoparka ödediği toplam ücret 102102 TL olduğuna göre, bu iki aracın otoparkta kaldığı sürelerin toplamı en fazla kaç saat olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

İki aracın otoparkta kaldığı sürelerin toplamı en fazla 14 saattir.
Toplam ücreti 102 TL yapan otopark ücretleri parçalı fonksiyon değerlerinden sadece 20 TL ve 82 TL olduğunda sağlanır. Bu ücretlere karşılık gelen kalış süreleri sırasıyla en fazla 2 saat ve 12 saat olduğundan, otoparkta kalınan sürelerin toplamı en fazla 14 saattir.

Adım Adım Çözüm

1
Pozitif tam sayı olan tt süreleri için otopark ücret fonksiyonunun alabileceği değerleri hesaplamak.
0<t≤20 < t \le 2 için U¨(1)=20Ü(1) = 20 TL ve U¨(2)=20Ü(2) = 20 TL'dir. 2<t≤62 < t \le 6 aralığındaki tam sayılar için ücretler sırasıyla U¨(3)=28Ü(3) = 28 TL, U¨(4)=36Ü(4) = 36 TL, U¨(5)=44Ü(5) = 44 TL ve U¨(6)=52Ü(6) = 52 TL olur. t>6t > 6 ise ücret U¨(t)=52+5(t−6)Ü(t) = 52 + 5(t-6) biçimindedir.
Her bir kalış süresine karşılık gelen ücret seçeneklerini belirlemek için parçalı fonksiyon kurallarını uyguluyoruz.
2
U¨(a)+U¨(b)=102Ü(a) + Ü(b) = 102 denklemini sağlayan aa ve bb pozitif tam sayı değerlerini bulmak.
Ücret listesindeki değerler incelendiğinde, toplamı 102 TL yapan tek tam sayı ücret ikilisi 20 TL ve 82 TL'dir. U¨(a)=20Ü(a) = 20 TL ise a=1a = 1 veya a=2a = 2 olabilir. Diğer aracın ücreti U¨(b)=82Ü(b) = 82 TL olmalıdır. b>6b > 6 bölgesinde 52+5(b−6)=82  ⟹  5(b−6)=30  ⟹  b−6=6  ⟹  b=1252 + 5(b-6) = 82 \implies 5(b-6) = 30 \implies b-6 = 6 \implies b = 12 bulunur.
Toplam ücretin sağlanması için parçalı fonksiyonun farklı dallarındaki olası değer kombinasyonlarını analiz ediyoruz.
3
Araçların otoparkta kaldığı sürelerin toplamını (a+ba + b) en büyük yapacak seçimi yapmak.
Araçlar farklı sürelerde kaldığı için a≠ba \ne b koşulu sağlanmalıdır. aa için otoparkta kalma süresi 2 saat, bb için 12 saat seçildiğinde araçlar farklı sürelerde kalmış olur. Buradan maksimum toplam süre a+b=2+12=14a + b = 2 + 12 = 14 saat olarak elde edilir.
Kalış süreleri toplamını en büyük yapmak amacıyla aa için olası en büyük tam sayı olan 2 değerini tercih ediyoruz.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonlarda değer hesaplama, tanım kümelerine göre işlem yapma ve basit optimizasyon problemleri çözme.

Alternatif Yöntem

Toplamı 102 TL yapan ücret ikilisi aranırken, fonksiyonun artış miktarlarından yararlanılabilir. İlk aralıkta sabit olan 20 TL ücreti t=2t=2 sınır değerinde de geçerlidir. Dolayısıyla en düşük ücreti ödeyen aracın süresi doğrudan sınır değer olan 2 alınarak süre maksimize edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Parçalı Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin