Examkin

Soru

Zorluk: ZorParçalı Fonksiyonlar
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu
f(x)={x+3,x<0x2−2x−3,x≥0f(x) = \begin{cases} x + 3, & x < 0 \\ x^2 - 2x - 3, & x \geq 0 \end{cases}
biçiminde tanımlanmaktadır.
Buna göre, (f∘f)(x)=−3(f \circ f)(x) = -3 eşitliğini sağlayan 55 farklı gerçel sayı değeri vardır.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Eşitliği sağlayan xx gerçel sayılarının oluşturduğu küme {−9,−3,−1,3,1+6}\{-9, -3, -1, 3, 1 + \sqrt{6}\} olup 55 elemanlıdır.
Bileşke fonksiyon eşitliğinde dıştan içe yapılan analizlerle elde edilen uu değerleri için parçalı fonksiyonun aralık sınırlarına uyan tam 55 adet bağımsız gerçel sayı kökü (x=−9,−3,−1,3,1+6x = -9, -3, -1, 3, 1 + \sqrt{6}) tespit edilmiştir. Bu durum ifadenin doğruluğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=uf(x) = u dönüşümü yapılarak f(u)=−3f(u) = -3 denklemi çözülür.
u<0u < 0 için u+3=−3⇒u=−6u + 3 = -3 \Rightarrow u = -6 bulunur (−6<0-6 < 0 koşulunu sağlar).
u≥0u \geq 0 için u2−2u−3=−3⇒u(u−2)=0u^2 - 2u - 3 = -3 \Rightarrow u(u-2) = 0 denkleminden u=0u = 0 veya u=2u = 2 bulunur (her iki değer de ≥0\geq 0 koşulunu sağlar).
Bileşke fonksiyon tanımı gereği içteki fonksiyonun değer aralığı, dıştaki fonksiyonun tanım kümesine göre değerlendirilmelidir.
2
u=−6u = -6 için f(x)=−6f(x) = -6 denkleminin gerçel kökleri bulunur.
x<0x < 0 için x+3=−6⇒x=−9x + 3 = -6 \Rightarrow x = -9 bulunur (aralığa uygundur).
x≥0x \geq 0 için x2−2x−3=−6⇒x2−2x+3=0x^2 - 2x - 3 = -6 \Rightarrow x^2 - 2x + 3 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=4−12=−8<0\Delta = 4 - 12 = -8 < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur.
Elde edilen uu değerini veren xx girdileri, parçalı fonksiyonun iki ayrı dalı için de sorgulanmalıdır.
3
u=0u = 0 için f(x)=0f(x) = 0 denkleminin gerçel kökleri bulunur.
x<0x < 0 için x+3=0⇒x=−3x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 bulunur (aralığa uygundur).
x≥0x \geq 0 için x2−2x−3=0⇒(x−3)(x+1)=0x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) = 0 denkleminin kökleri x=3x = 3 ve x=−1x = -1 olup aralık koşulunu (x≥0x \geq 0) yalnızca x=3x = 3 sağlar.
f(x)=0f(x) = 0 denkleminin kökleri bulunurken her dalın kendi tanım aralığı ile kesişimi alınmalıdır.
4
u=2u = 2 için f(x)=2f(x) = 2 denkleminin gerçel kökleri bulunur.
x<0x < 0 için x+3=2⇒x=−1x + 3 = 2 \Rightarrow x = -1 bulunur (aralığa uygundur).
x≥0x \geq 0 için x2−2x−3=2⇒x2−2x−5=0x^2 - 2x - 3 = 2 \Rightarrow x^2 - 2x - 5 = 0 denkleminin kökleri x=1±6x = 1 \pm \sqrt{6} olup aralık koşulunu (x≥0x \geq 0) yalnızca x=1+6x = 1 + \sqrt{6} sağlar (1−6<01 - \sqrt{6} < 0 olduğundan elenir).
İkinci dereceden denklemin köklerinden hangisinin tanım kümesi sınırlarına dahil olduğu incelenmelidir.
5
Bulunan tüm gerçel kökler birleştirilerek çözüm kümesinin eleman sayısı belirlenir.
Çözüm kümesi {−9,−3,−1,3,1+6}\{-9, -3, -1, 3, 1 + \sqrt{6}\} olarak bulunur. Bu kümede 55 farklı gerçel sayı vardır.
Farklı durumlardan elde edilen bağımsız tüm köklerin toplam sayısı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda bileşke işlemi içeren denklemleri çözerken tanım aralıklarına ve sınır değerlerine göre analiz yapma.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru