Examkin

Soru

Zorluk: ZorAsal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Bir AA doğal sayısının birbirinden farklı tüm asal çarpanlarının çarpımına bu sayının 'asal çekirdeği' denir ve C¸(A)\text{Ç}(A) ile gösterilir. AA sayısının birbirinden farklı tüm asal çarpanlarının toplamı ise T(A)\text{T}(A) ile gösterilir.

Örneğin, 20=22⋅520 = 2^2 \cdot 5 olduğundan C¸(20)=2⋅5=10\text{Ç}(20) = 2 \cdot 5 = 10 ve T(20)=2+5=7\text{T}(20) = 2 + 5 = 7'dir.

Buna göre, iki basamaklı bir AA doğal sayısı için
C¸(A)⋅T(A)=A\text{Ç}(A) \cdot \text{T}(A) = A
eşitliğini sağlayan tüm AA sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    49
  2. 74Cevap
  3. C
    83
  4. D
    87
  5. E
    98

Cevap

Eşitliği sağlayan iki basamaklı sayıların toplamı 74'tür.
Eşitliği sağlayan iki basamaklı sayılar 25 ve 49'dur. Bu sayıların toplamı 74 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimini yazarak tanımları bu gösterim üzerinden ifade edelim.
A=p1a1p2a2⋯pkakA = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k} olsun. Bu durumda C¸(A)=p1p2⋯pk\text{Ç}(A) = p_1 p_2 \cdots p_k ve T(A)=p1+p2+⋯+pk\text{T}(A) = p_1 + p_2 + \cdots + p_k olur.
Soruda verilen tanımları matematiksel denkleme dökmek için.
2
A sayısının yaln��zca bir asal çarpanı (k=1k=1) olduğu durumu inceleyelim.
A=paA = p^a ise C¸(A)=p\text{Ç}(A) = p ve T(A)=p\text{T}(A) = p olur. Eşitlikten p⋅p=pa  ⟹  p2=pa  ⟹  a=2p \cdot p = p^a \implies p^2 = p^a \implies a = 2 bulunur. Dolayısıyla A=p2A = p^2 formunda olmalıdır. AA iki basamaklı olduğundan pp asal sayısı için 52=255^2 = 25 ve 72=497^2 = 49 değerleri elde edilir (32=93^2 = 9 tek basamaklı, 112=12111^2 = 121 üç basamaklıdır).
Tek asal çarpanlı iki basamaklı çözümleri belirlemek için.
3
A sayısının iki farklı asal çarpanı (k=2k=2) olduğu durumu inceleyelim.
A=paqbA = p^a q^b (p<qp < q) olsun. Eşitlikten pq(p+q)=paqb  ⟹  p+q=pa−1qb−1pq(p+q) = p^a q^b \implies p+q = p^{a-1}q^{b-1} elde edilir. Eğer a−1≥1a-1 \geq 1 ve b−1≥1b-1 \geq 1 ise pa−1qb−1≥pq>p+qp^{a-1}q^{b-1} \geq pq > p+q olacağından çözüm yoktur. Eğer a−1=0a-1=0 ise p+q=qb−1  ⟹  p=q(qb−2−1)p+q = q^{b-1} \implies p = q(q^{b-2}-1) olur ki bu durum qq asalının pp asalını bölmesini gerektirir, bu da pp ve qq farklı asallar olduğundan imkansızdır. b−1=0b-1=0 durumu da simetrik olarak çözümsüzdür.
İki asal çarpanlı durumların matematiksel olarak çözümsüz olduğunu kanıtlamak için.
4
A sayısının üç veya daha fazla asal çarpanı olduğu durumu inceleyelim.
p<q<rp < q < r olmak üzere en küçük üç asal sayı 2, 3 ve 5'tir. Bu durumda en küçük AA sayısı 22⋅31⋅52=3002^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 300 olur. Dolayısıyla üç veya daha fazla asal çarpanı olan tüm çözümler üç basamaklı veya daha büyüktür.
Çoklu asal çarpanlı durumların iki basamaklı olamayacağını göstermek için.
5
Bulunan iki basamaklı tüm AA değerlerini toplayalım.
25+49=7425 + 49 = 74 elde edilir.
Soruda istenen toplam değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Asal Çarpanlara Ayırma ve Asal Sayı Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma

Bu konudan daha fazla soru