Examkin

Soru

Zorluk: KolayKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bir sınıftaki öğrencilerden piyano çalanların kümesi PP, gitar çalanların kümesi GG ile gösterilmektedir. Bu sınıfta piyano veya gitar enstrümanlarından en az birini çalan 2424 öğrenci bulunmaktadır. Piyano çalan öğrencilerin sayısı, gitar çalan öğrencilerin sayısının 22 katıdır. Sadece gitar çalan öğrencilerin sayısı 66 olduğuna göre, bu sınıfta her iki enstrümanı da çalan öğrenci sayısı kaçtır?

Cevap: 3 öğrenci

Cevap

Her iki enstrümanı da çalan öğrenci sayısı 3'tür.
Birleşim kümesinin eleman sayısı s(P∪G)=s(P)+s(G∖P)s(P \cup G) = s(P) + s(G \setminus P) formülü ile bulunur. Değerler yerine yazıldığında 24=s(P)+6  ⟹  s(P)=1824 = s(P) + 6 \implies s(P) = 18 bulunur. Soruda s(P)=2⋅s(G)s(P) = 2 \cdot s(G) verildiğinden 18=2⋅s(G)  ⟹  s(G)=918 = 2 \cdot s(G) \implies s(G) = 9 olur. Kesişim kümesinin eleman sayısı ise s(P∩G)=s(G)−s(G∖P)=9−6=3s(P \cap G) = s(G) - s(G \setminus P) = 9 - 6 = 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Birleşim ve fark kümeleri ilişkisini kullanarak piyano çalan öğrenci sayısını hesaplama
s(P)=18s(P) = 18
Piyano veya gitar çalanların kümesi (P∪GP \cup G), piyano çalanlar (PP) ile sadece gitar çalanların (G∖PG \setminus P) ayrık birleşimidir.
2
Verilen oranı kullanarak gitar çalan toplam öğrenci sayısını bulma
s(G)=9s(G) = 9
Piyano çalanların sayısı, gitar çalanların sayısının 2 katı olarak verilmiştir.
3
Gitar çalanların kümesinden kesişim kümesini çekme
s(P∩G)=3s(P \cap G) = 3
Gitar çalan toplam ��ğrenci sayısından sadece gitar çalanların sayısı çıkarıldığında her iki enstrümanı da çalanların sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim, Fark ve Kesişim İşlemlerinin Eleman Sayıları Arasındaki İlişkiler
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru