|x - 2| \leq 4 |2x - a| > 6 \neşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının sayısı 5'tir… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

|x - 2| \leq 4

|2x - a| > 6

eşitsizlik sistemini sağlayan

x

tam sayılarının sayısı 5'tir.

Buna göre, $a$ pozitif tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevap: 11

Eşitsizlik sistemini sağlayan en küçük pozitif a tam sayısı 11'dir.

İlk eşitsizliği sağlayan 9 tam sayıdan

\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}

, ikinci eşitsizliği sağlamayan

[(a-6)/2, (a+6)/2]

aralığına tam olarak 4 tanesinin düşmesi gerekir. a pozitif tam sayısı için bu koşulu sağlayan en küçük değer a=11 olup, hariç tutulan aralık

[2.5, 8.5]

olur ve ilk kümeden

\{3, 4, 5, 6\}

sayılarını kapsayarak geriye 5 çözüm bırakır.

İlk mutlak değerli eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak ve bu aralıktaki tam sayıları listelemek.

-2 \leq x \leq 6

aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar:

\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}

(9 adet).

Sistemin ilk koşulunu sağlayan x değerlerini belirlemek.

İkinci eşitsizliğin çözüm kümesini ve sistemi sağlamayan (hariç tutulan) aralığı belirlemek.

x > \frac{a+6}{2}

veya

x < \frac{a-6}{2}

çözümü elde edilir. Sistemi sağlamayan bölge ise

\frac{a-6}{2} \leq x \leq \frac{a+6}{2}

aralığıdır.

İkinci eşitsizliğin sınırlarını a parametresi cinsinden ifade etmek.

İlk kümedeki tam sayılardan kaç tanesinin hariç tutulan aralıkta olması gerektiğini belirlemek.

Toplam 9 tam sayıdan 5'inin sistemi sağlaması için, hariç tutulan aralıkta ilk kümeden tam olarak

9 - 5 = 4

tam sayı bulunmalıdır.

Sistemi sağlayan tam sayı adedinin tam olarak 5 olmasını sağlamak.

En küçük pozitif a tam sayısını bulmak için değerleri analiz etmek.

a = 11

için hariç tutulan aralık

[2.5, 8.5]

olur. Bu aralıktaki tam sayılar

\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}

olup ilk küme ile kesişimi

\{3, 4, 5, 6\}

(4 eleman) şeklindedir. Böylece geriye kalan

\{-2, -1, 0, 1, 2\}

(5 eleman) sistemi sağlar.

a < 11

değerleri için bu kesişim 4'ten fazla eleman içerir veya kalan eleman sayısı 5 olmaz.

Koşulları sağlayan en küçük pozitif a tam sayı değerini belirlemek.

Mutlak değerli eşitsizlik sistemlerinin ortak çözüm kümesinin bulunması ve aralık analizi.

Soru