Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

AA, BB ve CC kümeleri aynı EE evrensel kümesinin alt kümeleridir. Bu kümelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* C⊂(A∩B)C \subset (A \cap B)
* s(A∖(B∪C))=8s(A \setminus (B \cup C)) = 8
* s(B∖(A∪C))=6s(B \setminus (A \cup C)) = 6
* s(C)=4s(C) = 4
* s((A∩B)∖C)=5s((A \cap B) \setminus C) = 5
* s((A∪B)′)=10s((A \cup B)') = 10

Buna göre, s((A∖B)′∩(B∖C))s((A \setminus B)' \cap (B \setminus C)) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    9
  3. 11Cevap
  4. D
    15
  5. E
    19

Cevap

İstenen ifadenin değeri 11'dir.
İstenen ifade sadeleştirildiğinde B∖CB \setminus C kümesine eşit olur. B∖CB \setminus C kümesinin eleman sayısı ise s(B∖A)+s((A∩B)∖C)=6+5=11s(B \setminus A) + s((A \cap B) \setminus C) = 6 + 5 = 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
C⊂(A∩B)C \subset (A \cap B) alt küme ilişkisini kullanarak verilen fark kümelerini sadeleştirmek.
C⊂B  ⟹  B∪C=BC \subset B \implies B \cup C = B ve C⊂A  ⟹  A∪C=AC \subset A \implies A \cup C = A olur. Buradan s(A∖B)=8s(A \setminus B) = 8 ve s(B∖A)=6s(B \setminus A) = 6 elde edilir.
CC kümesi AA ve BB kümelerinin kesişiminin alt kümesi olduğundan, hem AA'nın hem de BB'nin bir alt kümesidir.
2
İstenen s((A∖B)′∩(B∖C))s((A \setminus B)' \cap (B \setminus C)) ifadesini küme özellikleri yardımıyla sadeleştirmek.
(A∖B)′=A′∪B(A \setminus B)' = A' \cup B olduğundan ifade (A′∪B)∩(B∩C′)=B∩C′=B∖C(A' \cup B) \cap (B \cap C') = B \cap C' = B \setminus C şekline dönüşür.
B⊂(A′∪B)B \subset (A' \cup B) olduğundan, bu iki kümenin kesişimi BB kümesini verir.
3
s(B∖C)s(B \setminus C) değerini hesaplamak.
B∖C=(B∖A)∪((A∩B)∖C)B \setminus C = (B \setminus A) \cup ((A \cap B) \setminus C) ayrışımı yazılır. Eleman sayısı ise s(B∖C)=s(B∖A)+s((A∩B)∖C)=6+5=11s(B \setminus C) = s(B \setminus A) + s((A \cap B) \setminus C) = 6 + 5 = 11 bulunur.
B∖AB \setminus A ile (A∩B)∖C(A \cap B) \setminus C kümeleri ayrık kümelerdir.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark, tümleme ve alt küme özellikleri

Alternatif Yöntem

Venn şeması çizilerek AA, BB ve CC kümeleri yerleştirilir. CC kümesi A∩BA \cap B bölgesinin içine çizilir. Soruda verilen eleman sayıları ilgili bölgelere yazıldıktan sonra, istenen (A∖B)′(A \setminus B)' (yani A∖BA \setminus B bölgesi dışındaki tüm alan) ile B∖CB \setminus C (yani BB'nin CC dışında kalan kısmı) bölgelerinin kesişimi şema üzerinde taranarak doğrudan gözlemlenebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru