Examkin

Soru

Zorluk: ZorKatılarda Dayanıklılık

Bir mimari projede kullanılmak üzere, homojen bir mermer bloktan ölçekli bir model tasarlanmıştır. Bu model, boyutları 10 cm10\text{ cm}, 20 cm20\text{ cm} ve 30 cm30\text{ cm} olan dikdörtgenler prizması şeklindedir ve en küçük yüzeyi üzerinde dururken kendi ağırlığına karşı dayanıklılığı D1D_1 olarak ölçülmüştür. Gerçek yapıda kullanılacak mermer blok ise bu model ile geometrik olarak benzer olup hacmi model bloğun hacminin 8×1038 \times 10^3 katıdır. Bu gerçek mermer blok da en küçük yüzeyi üzerinde duracak şekilde yerleştirildiğinde kendi ağırlığına karşı dayanıklılığı D2D_2 olmaktadır.

Buna göre, D2D1\frac{D_2}{D_1} oranı kaçtır?

Cevap: 0.05

Cevap

Gerçek mermer bloğun kendi ağırlığına karşı dayanıklılığının model bloğun dayanıklılığına oranı 0,05'tir.
Geometrik olarak benzer cisimlerin hacimlerinin oranı, boyutlarının (ölçek çarpanının) küpü ile orantılıdır. Hacmi modelin 8000 katı olan gerçek bloğun yüksekliği modelin 20 katı olur (k=20k = 20). Düzgün prizmalarda kendi ağırlığına karşı dayanıklılık yükseklikle ters orantılı olduğundan, yüksekliği 20 katına çıkan gerçek bloğun dayanıklılığı model bloğun 1/20'si, yani 0,05 katı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Hacim oranından doğrusal ölçek çarpanının belirlenmesi
k=20k = 20
Geometrik olarak benzer iki cismin hacimlerinin oranı, doğrusal boyutlarının (ölçek çarpanının) küpüne eşittir: V2V1=k3=8000  ⟹  k=20\frac{V_2}{V_1} = k^3 = 8000 \implies k = 20.
2
Kendi ağırl��ğına karşı dayanıklılık ile yükseklik ilişkisinin kurulması
D∝1hD \propto \frac{1}{h}
Düzgün geometrik şekilli katı cisimlerin kendi ağırlıklarına karşı dayanıklılığı, taban kesit alanı / hacim oranına eşittir. Bu oran yükseklikle ters orantılıdır (D∝1hD \propto \frac{1}{h}).
3
Dayanıklılık oranının hesaplanması
D2D1=005\frac{D_2}{D_1} = 0{}05
Gerçek bloğun tüm boyutları model bloğun 20 katı olduğundan yüksekliği de 20 katına çıkar (h2=20h1h_2 = 20h_1). Bu durumda dayanıklılık 2020 kat azalır: D2D1=120=005\frac{D_2}{D_1} = \frac{1}{20} = 0{}05 bulunur.

Anahtar Kavram

Katıların kendi ağırlıklarına karşı dayanıklılığının geometrik boyutlandırma ve Kare-Küp Kanunu ile değişimi

Alternatif Yöntem

Orantı yöntemi kullanılarak da çözülebilir. Modelin yüksekliği h1=30 cmh_1 = 30\text{ cm}'dir. Ölçek çarpanı k=20k = 20 olduğundan gerçek bloğun yüksekliği h2=20×30 cm=600 cmh_2 = 20 \times 30\text{ cm} = 600\text{ cm} olur. Dayanıklılık formülünden D1=130 cm−1D_1 = \frac{1}{30}\text{ cm}^{-1} ve D2=1600 cm−1D_2 = \frac{1}{600}\text{ cm}^{-1} değerleri bulunarak doğrudan oranlanabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Katılarda Dayanıklılık

Bu konudan daha fazla soru