Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKatılarda Dayanıklılık

Aynı homojen malzemeden yapılmış; kendi ağırlıklarına karşı dayanıklılıkları sırasıyla DKD_K, DLD_L ve DMD_M olan K, L ve M katı cisimlerinin boyutları ve şekilleri aşağıdaki gibidir:
- K cismi: Kenar uzunluğu 2a2a olan bir küp
- L cismi: Taban yarıçapı aa, yüksekliği aa olan düzgün bir dik silindir
- M cismi: Taban ayrıtları aa ve 3a3a, yüksekliği 3a3a olan dikdörtgenler prizması

Buna göre; K, L ve M cisimlerinin kendi ağırlıklarına karşı dayanıklılıkları DKD_K, DLD_L ve DMD_M arasındaki büyüklük ilişkisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. DL>DK>DMD_L > D_K > D_MCevap
  2. B
    DM>DK>DLD_M > D_K > D_L
  3. C
    DK>DL>DMD_K > D_L > D_M
  4. D
    DK=DL=DMD_K = D_L = D_M
  5. E
    DL>DM>DKD_L > D_M > D_K

Cevap

Dayanıklılıklar arasındaki büyüklük ilişkisi DL>DK>DMD_L > D_K > D_M şeklindedir.
Aynı homojen malzemeden yapılmış kendi ağırlıklarına karşı dayanıklılıkları incelenen düzgün katı cisimlerin dayanıklılığı, kesit alanının hacme oranına (S/VS/V) bağlıdır. Bu cisimler için hacim V=S⋅hV = S \cdot h olduğundan, dayanıklılık yüksekliğin tersiyle (1/h1/h) orantılıdır. Yüksekliği en küçük olan cismin dayanıklılığı en büyük, yüksekliği en büyük olanınki ise en küçüktür. Cisimlerin yükseklikleri sırasıyla hL=ah_L = a, hK=2ah_K = 2a ve hM=3ah_M = 3a olduğundan, sıralama en yüksek dayanıklılıktan en düşüğe doğru DL>DK>DMD_L > D_K > D_M şeklinde olur. Bu durum, yükseklikle dayanıklılığın ters orantılı olduğunu gösteren seçenekte doğru verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Dayanıklılık formülünün belirlenmesi
Katı cisimlerin kendi ağırlıklarına karşı dayanıklılığı D∝Kesit AlanıHacimD \propto \frac{\text{Kesit Alanı}}{\text{Hacim}} oranı ile belirlenir.
Katılarda dayanıklılığın geometrik boyutlara bağlı temel tanımını kullanmak için.
2
Kesit alanı/hacim oranının düzgün cisimler için sadeleştirilmesi
Yüksekliği boyunca kesit alanı değişmeyen düzgün geometrik cisimler (küp, silindir, prizma) için hacim V=S⋅hV = S \cdot h şeklindedir. Buradan oran D∝SS⋅h=1hD \propto \frac{S}{S \cdot h} = \frac{1}{h} olarak sadeleşir.
Aynı malzemeden yapılmış düzgün cisimlerin dayanıklılıklarının sadece yüksekliklerine bağlı olduğunu görmek için.
3
Cisimlerin yüksekliklerinin belirlenmesi
K küpünün yüksekliği hK=2ah_K = 2a, L silindirinin yüksekliği hL=ah_L = a ve M prizmasının yüksekliği hM=3ah_M = 3a olarak bulunur.
Yükseklik değerlerini karşılaştırarak dayanıklılık sıralamasını kurabilmek için.
4
Dayanıklılıkların karşılaştırılması ve sıralanması
Yükseklikler arasında hL<hK<hMh_L < h_K < h_M ilişkisi vardır. Dayanıklılık yükseklikle ters orantılı olduğundan sıralama DL>DK>DMD_L > D_K > D_M şeklinde olur.
Ters orantı kuralını uygulayarak nihai büyüklük sıralamasına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Düzgün geometrik katı cisimlerin kendi ağırlıklarına karşı dayanıklılıkları yükseklikleri ile ters orantılıdır (D∝1/hD \propto 1/h).

Alternatif Yöntem

Cisimlerin dayanıklılıklarını kesit alanlarını (SS) ve hacimlerini (VV) doğrudan kendi formülleriyle hesaplayıp oranlayarak da bulabiliriz: K cismi için SK/VK=4a2/8a3=1/(2a)S_K/V_K = 4a^2 / 8a^3 = 1/(2a), L cismi için SL/VL=πa2/(πa2⋅a)=1/aS_L/V_L = \pi a^2 / (\pi a^2 \cdot a) = 1/a ve M cismi için SM/VM=3a2/9a3=1/(3a)S_M/V_M = 3a^2 / 9a^3 = 1/(3a) olarak bulunur. Buradan da DL>DK>DMD_L > D_K > D_M sonucu elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Katılarda Dayanıklılık

Bu konudan daha fazla soru