Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBire Bir ve Örten Fonksiyonlar

A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesi üzerinde tanımlı f:A→Af: A \rightarrow A fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur.

f(1)+f(2)=5f(3)+f(4)=9f(1)⋅f(3)=6\begin{aligned} &f(1) + f(2) = 5 \\ &f(3) + f(4) = 9 \\ &f(1) \cdot f(3) = 6 \end{aligned}

olduğuna göre, f(5)+f(6)f(5) + f(6) toplamı kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    6
  3. 7Cevap
  4. D
    8
  5. E
    9

Cevap

Fonksiyonun bire bir ve örten olmasından yola çıkarak f(5)+f(6)f(5) + f(6) toplamının değeri 7 olmalıdır.
Fonksiyonun bire bir ve örten olması, değer kümesindeki her bir elemanın tanım kümesindeki yalnızca bir elemanla eşleşmesini gerektirir. Verilen denklemler çözüldüğünde f(1)=1f(1) = 1, f(2)=4f(2) = 4, f(3)=6f(3) = 6 ve f(4)=3f(4) = 3 değerleri tek bir biçimde elde edilir. Değer kümesinde geriye kalan {2,5}\{2, 5\} elemanları ise f(5)f(5) ve f(6)f(6) ile eşleşmek zorundadır. Bu nedenle, hangi eşleşme yapılırsa yapılsın bu iki değerin toplamı her zaman 7 olur.

Adım Adım Çözüm

1
f(1)⋅f(3)=6f(1) \cdot f(3) = 6 denklemini sağlayan AA kümesi elemanlarını belirlemek.
Çarpımları 6 olan iki farklı eleman çifti {1,6}\{1, 6\} veya {2,3}\{2, 3\} olabilir.
ff fonksiyonunun değerleri A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinden seçilmelidir.
2
Bulunan çarpım alternatiflerini f(1)+f(2)=5f(1) + f(2) = 5 ve f(3)+f(4)=9f(3) + f(4) = 9 denklemlerinde test ederek çelişki oluşturmayan durumu bulmak.
Eğer f(1)=2f(1) = 2 ve f(3)=3f(3) = 3 seçilirse, f(2)=3f(2) = 3 olur. Ancak ff bire bir olduğundan f(2)≠f(3)f(2) \neq f(3) olmalıdır, bu durum çelişki yarat��r. Benzer şekilde f(1)=3f(1) = 3 ve f(3)=2f(3) = 2 durumu da f(2)=2=f(3)f(2) = 2 = f(3) çelişkisine yol açar. Eğer f(1)=6f(1) = 6 ve f(3)=1f(3) = 1 seçilirse, f(2)=−1f(2) = -1 olur, ancak −1∉A-1 \notin A'dır. Dolayısıyla tek geçerli durum f(1)=1f(1) = 1 ve f(3)=6f(3) = 6 olmasıdır.
Fonksiyonun bire bir ve örten olması, her bir tanım kümesi elemanının değer kümesindeki farklı bir elemanla eşleşmesini gerektirir.
3
Geçerli duruma göre diğer fonksiyon değerlerini ve kalan elemanları hesaplamak.
f(1)=1f(1) = 1 ve f(3)=6f(3) = 6 ise; f(2)=5−1=4f(2) = 5 - 1 = 4 ve f(4)=9−6=3f(4) = 9 - 6 = 3 olur. Eşleşen değerler kümesi {1,3,4,6}\{1, 3, 4, 6\} olarak bulunur. ff fonksiyonu örten olduğundan, tanım kümesindeki 55 ve 66 elemanları, değer kümesindeki henüz eşleşmemiş olan {2,5}\{2, 5\} elemanları ile eşleşmelidir. Bu durumda {f(5),f(6)}={2,5}\{f(5), f(6)\} = \{2, 5\} olur ve toplamları 2+5=72 + 5 = 7 olarak bulunur.
Örtenlik tanımı gereği değer kümesindeki her elemanın en az bir kez eşleşmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Sonlu kümelerde tanımlı bire bir ve örten fonksiyonların özellikleri ve değer eşlemesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru