Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Sıfırdan farklı xx, yy ve zz gerçel sayıları için
- ∣x−y∣=∣x∣−∣y∣|x - y| = |x| - |y|
- ∣y−z∣=∣y∣+∣z∣|y - z| = |y| + |z|
- ∣x+z∣=∣x∣−∣z∣|x + z| = |x| - |z|
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    x+y+z>0x + y + z > 0
  2. B
    x⋅y⋅z>0x \cdot y \cdot z > 0
  3. x⋅(y−z)>0x \cdot (y - z) > 0Cevap
  4. D
    x+z>0x + z > 0
  5. E
    ∣y∣>∣z∣|y| > |z|

Cevap

x⋅(y−z)>0x \cdot (y - z) > 0 ifadesinin yer aldığı seçenek
Verilen mutlak değer özelliklerinden xx ile yy sayılarının aynı işaretli, yy ile zz sayılarının zıt işaretli ve xx ile zz sayılarının zıt işaretli olduğu anlaşılır. Ayrıca ∣x∣>∣y∣|x| > |y| ve ∣x∣>∣z∣|x| > |z| koşulları sağlanır. Bu verilere göre ortaya çıkan iki farklı işaret durumunun her birinde xx ile y−zy - z ifadeleri her zaman aynı işaretli olduğundan, çarpımları (x⋅(y−z)x \cdot (y - z)) her zaman sıfırdan büyük olur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer özelliklerini kullanarak değişkenlerin işaret durumlarını ve mutlak değerce büyüklük ilişkilerini belirlemek.
∣x−y∣=∣x∣−∣y∣  ⟹  x|x - y| = |x| - |y| \implies x ve yy aynı işaretlidir (x⋅y>0x \cdot y > 0) ve ∣x∣>∣y∣|x| > |y| olur.
∣y−z∣=∣y∣+∣z∣  ⟹  y|y - z| = |y| + |z| \implies y ve zz zıt işaretlidir (y⋅z<0y \cdot z < 0) olur.
∣x+z∣=∣x∣−∣z∣  ⟹  x|x + z| = |x| - |z| \implies x ve zz zıt işaretlidir (x⋅z<0x \cdot z < 0) ve ∣x∣>∣z∣|x| > |z| olur.
Her bir mutlak değer eşitliği, ifadelerin işaret ve mutlak değer büyüklük ilişkileri hakkında kesin bilgiler sunar.
2
Değişkenlerin olası işaret kombinasyonlarını tespit etmek.
xx ile yy aynı işaretli, yy ile zz zıt işaretli, xx ile zz ise zıt işaretlidir. Buna göre iki durum mevcuttur:
Durum 1: x>0x > 0, y>0y > 0 ve z<0z < 0
Durum 2: x<0x < 0, y<0y < 0 ve z>0z > 0
Seçeneklerin her durumda doğruluğunu denetleyebilmek için tüm olası işaret gruplarını belirlemeliyiz.
3
x⋅(y−z)x \cdot (y - z) ifadesini bu iki durum altında incelemek.
Durum 1 için: x>0x > 0 ve y>0,z<0y > 0, z < 0 olduğundan y−z>0y - z > 0 olur. Çarpım: (+)⋅(+)>0(+) \cdot (+) > 0 bulunur.
Durum 2 için: x<0x < 0 ve y<0,z>0y < 0, z > 0 olduğundan y−z<0y - z < 0 olur. Çarpım: (-) \cdot (-) > 0$ bulunur.
Her iki durumda da sonuç sıfırdan büyüktür.
x⋅(y−z)>0x \cdot (y - z) > 0 eşitsizliğinin her iki durum için de sağlandığını teyit etmek.

Anahtar Kavram

Mutlak değer dışına çıkarma ve zıt/aynı işaretli ifadelerin mutlak değer özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru