Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değerli Eşitsizlikler

xx ve yy gerçel sayıları için,

1≤∣x−2∣<51 \leq |x - 2| < 5
∣2x+y−3∣≤0|2x + y - 3| \leq 0

eşitsizlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, yy tam sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevap: -2

Cevap

y tam sayısının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı -2'dir.
Mutlak değer negatif olamayacağından, ikinci denklemden y=3−2xy = 3 - 2x elde edilir. Birinci eşitsizlik çözülerek elde edilen xx aralıkları, yy değişkeninin (−11,−3]∪[1,9)(-11, -3] \cup [1, 9) kümesinde olduğunu gösterir. Bu kümedeki en küçük tam sayı −10-10, en büyük tam sayı 88 olduğundan toplamları −2-2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci eşitsizlikteki mutlak değer özelliğini analiz etme
y=3−2xy = 3 - 2x
Mutlak değerli bir ifade negatif değer alamayacağı için ∣2x+y−3∣≤0|2x + y - 3| \leq 0 eşitsizliği yalnızca 2x+y−3=02x + y - 3 = 0 durumunda sağlanır.
2
Birinci eşitsizliği çözerek x'in değer aralıklarını bulma
3≤x<73 \leq x < 7 veya −3<x≤1-3 < x \leq 1
1≤∣x−2∣<51 \leq |x - 2| < 5 ifadesi, mutlak değer içi pozitif ve negatif olacak şekilde iki ayrı eşitsizlik halinde incelenir.
3
Bulunan x aralıkları yardımıyla y ifadesini oluşturma
−11<y≤−3-11 < y \leq -3 veya 1≤y<91 \leq y < 9
y=3−2xy = 3 - 2x olduğundan, her iki eşitsizlik aralığı sırasıyla −2-2 ile çarpılıp 33 eklenerek yy yalnız bırakılır.
4
y tam sayısının sınır değerlerini bulma ve toplama
8+(−10)=−28 + (-10) = -2
yy'nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 88 (açık sınır 99 olduğundan dahil değil), en küçük tam sayı değeri ise −10-10 (açık sınır −11-11 olduğundan dahil değil) olur.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve mutlak değerin negatif olamayacağı özelliği
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru