Examkin

Soru

Zorluk: ZorPolinom Tanımı ve Temel Özellikleri

mm ve nn pozitif tam sayılar olmak üzere,

P(x)=(m−2)x12m−n+(n−3)xm−5+4x8−mP(x) = (m-2)x^{\frac{12}{m-n}} + (n-3)x^{m-5} + 4x^{8-m}

ifadesi bir polinom belirttiğine göre, m+nm + n toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevap: 15

Cevap

m + n toplamının alabileceği en büyük değer 15'tir.
En büyük toplam değeri, m'nin en büyük değeri olan 8 ve bu durumda derecenin doğal sayı olmasını sağlayan en büyük n değeri olan 7 kullanılarak 15 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Katsayısı kesinlikle sıfırdan farklı olan terimin derecesini incelemek.
8−m≥0⇒m≤88-m \ge 0 \Rightarrow m \le 8 elde edilir.
Polinom tanımı gereği, sıfırdan farklı katsayılı terimlerin dereceleri doğal sayı olmalıdır.
2
Değişken katsayılı ikinci terimi katsayının sıfır olma ve olmama durumlarına göre incelemek.
n=3n=3 ise m−5m-5 serbesttir; n≠3n \neq 3 ise m≥5m \ge 5 olmalıdır.
Katsayının sıfır olması durumunda derecenin doğal sayı olma zorunluluğu ortadan kalkar.
3
İlk terimin derecesinin doğal sayı olma koşulunu m=8m=8 değeri için incelemek.
8−n8-n ifadesi 12'nin pozitif bölenleri olan {1,2,3,4,6}\{1, 2, 3, 4, 6\} kümesinin elemanı olmalıdır. Buradan en büyük pozitif tam sayı değeri n=7n=7 olarak bulunur.
m + n toplamını en büyük yapmak için m'yi alabileceği en büyük değer olan 8 seçip, buna uygun en büyük n pozitif tam sayısını bulmak.
4
Bulunan m=8m=8 ve n=7n=7 değerlerinin tüm terimler için polinom tanımını sağladığını doğrulamak ve toplamı hesaplamak.
m+n=8+7=15m+n = 8+7 = 15 bulunur.
Koşulları sağlayan en büyük m ve n değerlerinin toplamını elde etmek.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin polinom belirtmesi için değişkenlerin kuvvetleri birer doğal sayı olmalıdır. Katsayısı sıfır olan terimler bu kurala tabi değildir.
Bu soruyu puanla

Konular

Polinom Tanımı ve Temel Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru