Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPolinom Tanımı ve Temel Özellikleri
P(x)=3x2n+24n+2−x8−n+5P(x) = 3x^{\frac{2n+24}{n+2}} - x^{8-n} + 5

ifadesi bir polinom belirttiğine göre, nn doğal sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevap: 13

Cevap

Koşulları sağlayan farklı n doğal sayılarının toplamı 13'tür.
Polinom tanımına göre değişkenlerin üsleri doğal sayı olmalıdır. Buradan 8−n≥0  ⟹  n≤88-n \ge 0 \implies n \le 8 ve 2n+24n+2=2+20n+2\frac{2n+24}{n+2} = 2 + \frac{20}{n+2} ifadesinin doğal sayı olması için n+2n+2 değeri 2020'nin 22 veya daha büyük böleni olmalıdır. Koşulları sağlayan nn doğal sayıları 0,2,3,80, 2, 3, 8 olup, toplamları 1313 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Polinom tanımına göre terimlerin derecelerinin birer doğal sayı olması gerektiği koşulu yazılır.
2n+24n+2∈N\frac{2n+24}{n+2} \in \mathbb{N} ve 8−n∈N8-n \in \mathbb{N} olmalıdır.
Polinomlarda değişkenlerin üsleri negatif olmayan tam sayılar (yani doğal sayılar) olmalıdır.
2
8−n8-n ifadesinin doğal sayı olması için gerekli eşitsizlik çözülür.
8−n≥0  ⟹  n≤88-n \ge 0 \implies n \le 8 elde edilir.
Bir sayının doğal sayı olması için sıfırdan büyük veya sıf��ra eşit olması gerekir.
3
2n+24n+2\frac{2n+24}{n+2} rasyonel ifadesi tam sayılı kesir biçiminde yazılır.
2n+24n+2=2(n+2)+20n+2=2+20n+2\frac{2n+24}{n+2} = \frac{2(n+2) + 20}{n+2} = 2 + \frac{20}{n+2} bulunur.
Pay paydaya bölünerek değişkenin değerlerini bulmayı kolaylaştıracak bir biçime dönüştürülür.
4
2+20n+22 + \frac{20}{n+2} ifadesinin doğal sayı olması için n+2n+2 bölenleri belirlenir.
n+2n+2 ifadesi 2020'nin pozitif bir böleni olmalıdır. nn doğal sayı (n≥0n \ge 0) olduğundan n+2≥2n+2 \ge 2 olmalıdır. Buradan n+2∈{2,4,5,10,20}n+2 \in \{2, 4, 5, 10, 20\} elde edilir.
2020 sayısının pozitif bölenleri belirlenir ve n≥0n \ge 0 sınırlandırılması uygulanır.
5
Bulunan n+2n+2 değerlerinden nn çekilir ve n≤8n \le 8 koşulu kontrol edilir.
n∈{0,2,3,8}n \in \{0, 2, 3, 8\} değerleri bulunur (n+2=20  ⟹  n=18n+2=20 \implies n=18 değeri n≤8n \le 8 koşulunu sağlamadığı için elenir).
Her iki derecenin de aynı anda doğal sayı olmasını sağlayan ortak nn değerleri kümesi oluşturulur.
6
Elde edilen nn doğal sayılarının toplamı hesaplanır.
0+2+3+8=130 + 2 + 3 + 8 = 13 bulunur.
Soruda istenen alabileceği farklı değerlerin toplamı işlemidir.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin polinom belirtmesi için değişkenlerinin derecelerinin doğal sayı olması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Polinom Tanımı ve Temel Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru