Soru

Zorluk: KolayKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bir yaz okulunda sadece basketbol ve futbol kursları açılmış ve bu iki kurstan en az birine katılan toplam 40 öğrenci olduğu bilinmektedir. Bu öğrencilerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Sadece basketbol kursuna katılan öğrenci sayısı, her iki kursa da katılan öğrenci sayısının 3 katıdır.
* Sadece futbol kursuna katılan öğrenci sayısı, basketbol kursuna katılan toplam öğrenci sayısına eşittir.

Buna göre, her iki kursa da katılan öğrenci sayısı kaçtır?

Cevap: 5 öğrenci

Cevap

Her iki kursa da katılan öğrenci sayısı 5'tir.
Her iki kursa katılan öğrenci sayısı xx olarak tanımlandığında, sadece basketbol kursuna katılanlar 3x3x, basketbol kursuna katılan toplam öğrenci sayısı 3x+x=4x3x + x = 4x ve sadece futbol kursuna katılanlar 4x4x olur. Tüm bölgelerin toplamı 3x+x+4x=8x=403x + x + 4x = 8x = 40 olup, buradan x=5x = 5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Her iki kursa da katılan öğrenci sayıs��nı bir değişkenle ifade etme.
s(BF)=xs(B \cap F) = x
Diğer tüm küme bölgelerini bu temel değişken cinsinden yazabilmek için.
2
Sadece basketbol kursuna katılan öğrenci sayısını belirleme.
s(BF)=3xs(B \setminus F) = 3x
Soruda bu sayının, her iki kursa da katılanların 3 katı olduğu belirtilmiştir.
3
Basketbol kursuna katılan toplam öğrenci sayısını hesaplama.
s(B)=4xs(B) = 4x
Basketbol oynayanların toplamı, sadece basketbol oynayanlar (3x3x) ile her iki kursa katılanların (xx) toplamıdır.
4
Sadece futbol kursuna katılan öğrenci sayısını bulma.
s(FB)=4xs(F \setminus B) = 4x
Soruda sadece futbol oynayanların sayısının, basketbol oynayanların toplam sayısına (s(B)s(B)) eşit olduğu belirtilmiştir.
5
Birleşim kümesinin eleman sayısı formülüyle denklemi kurup çözme.
3x+x+4x=40    8x=40    x=53x + x + 4x = 40 \implies 8x = 40 \implies x = 5
Gruptaki tüm öğrencilerin toplamı, her iki kümenin birleşimine eşittir.

Anahtar Kavram

Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşlemleri ile Eleman Sayısı Hesaplama
Bu soruyu puanla