Bir x gerçel sayısı için, x - \frac{1}{x+2} = 3 olduğuna göre, (x+2)^3 - \frac{1}{(x+2)^3}… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir

x

gerçel sayısı için,

x - \frac{1}{x+2} = 3

olduğuna göre,

(x+2)^3 - \frac{1}{(x+2)^3}

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 140

İfadenin değeri 140'tır.

Verilen denklemde her iki tarafa 2 eklenerek

x + 2 - \frac{1}{x+2} = 5

eşitliği elde edilir. Burada

u = x + 2

dönüşümü yapıldığında

u - \frac{1}{u} = 5

olur. İstenen ifade ise

u^3 - \frac{1}{u^3}

şeklindedir. İki küp farkı özdeşliği olan

u^3 - \frac{1}{u^3} = (u - \frac{1}{u})^3 + 3(u - \frac{1}{u})

formülü uygulandığında

5^3 + 3 \cdot 5 = 140

sonucuna ulaşılır.

Verilen denklemin her iki tarafına 2 eklenir.

x + 2 - \frac{1}{x+2} = 3 + 2 \implies x + 2 - \frac{1}{x+2} = 5

elde edilir.

Paydadaki

x+2

ifadesi ile uyumlu bir terim oluşturarak değişken değiştirme yöntemini uygulayabilmek için bu adım gereklidir.

Elde edilen yeni denklemde değişken değiştirme yapılır.

u = x+2

denilirse, denklem

u - \frac{1}{u} = 5

olur.

İfadeleri sadeleştirmek ve bilinen özdeşlik kalıplarına benzetmek için değişken değiştirme kolaylık sağlar.

İstenen

(x+2)^3 - \frac{1}{(x+2)^3}

ifadesi

u

cinsinden yazılır ve iki küp farkı özdeşliği uygulanır.

İstenen ifade

u^3 - \frac{1}{u^3}

olur. İki küp farkı özdeşliğinden,

u^3 - \frac{1}{u^3} = \left(u - \frac{1}{u}\right)^3 + 3\left(u - \frac{1}{u}\right)

yazılır.

Küp toplamı ve farkı özdeşliklerini kullanarak

u - \frac{1}{u}

değerini doğrudan yerine yazabilmek için.

u - \frac{1}{u} = 5

değeri özdeşlikte yerine konularak sonuç hesaplanır.

u^3 - \frac{1}{u^3} = 5^3 + 3 \cdot 5 = 125 + 15 = 140

bulunur.

Dört işlem basamaklarını tamamlayıp nihai sayısal sonuca ulaşmak için.

Değişken değiştirme yöntemi yardımıyla iki küp farkı özdeşliğinin uygulanması.

Soru