Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bir resim sergisinde sergilenen tüm tabloların oluşturduğu küme evrensel kümedir. Bu tablolardan yağlı boya tekniğiyle yapılanların kümesi AA, manzara konusu içerenlerin kümesi ise BB olarak belirlenmiştir.

Bu sergideki tablolarla ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:
* Sergide toplam 40 tablo bulunmaktadır.
* Yağlı boya tekniğiyle yapılmamış manzara tablolarının sayısı, manzara konusu içermeyen yağlı boya tablolarının sayısının 2 katıdır.
* Sergideki yağlı boya tekniğiyle yapılmamış ve manzara konusu içermeyen tabloların sayısı, manzara konusu içeren yağlı boya tablolarının sayısının 3 katıdır.
* Sergideki tablolardan yağlı boya tekniğiyle yapılmış veya manzara konusu içerenlerin toplam sayısı 28'dir.

Buna göre, bu sergideki tablolardan yağlı boya tekniğiyle yapılmış olup manzara konusu içermeyenlerin sayısı kaçtır?

Cevap: 8

Cevap

Sergideki tablolardan yağlı boya tekniğiyle yapılmış olup manzara konusu içermeyenlerin sayısı 8'dir.
Evrensel kümenin eleman sayısı olan 40'tan, yağlı boya veya manzara resmi olanların (s(A∪B)=28s(A \cup B) = 28) çıkarılmasıyla hem yağlı boya olmayan hem de manzara içermeyen tabloların sayısı w=12w = 12 olarak bulunur. Bu sayı, kesişim bölgesinin (zz) 3 katı olduğundan kesişim z=4z = 4 olur. Birleşim kümesinden kesişim çıkarıldığında fark bölgelerinin toplamı x+y=24x + y = 24 kalır. y=2xy = 2x verildiğinden 3x=243x = 24 denkleminden x=8x = 8 elde edilir ki bu da yağlı boya olup manzara konusu içermeyenlerin (s(A∖B)s(A \setminus B)) sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümelerin bölgelerini değişkenlerle tanımlama
s(A∖B)=xs(A \setminus B) = x, s(B∖A)=ys(B \setminus A) = y, s(A∩B)=zs(A \cap B) = z ve s((A∪B)′)=ws((A \cup B)') = w tanımlamaları yapılır.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için her bölgeye bir değişken atanır.
2
Verilen bilgileri denklemlere dökme
x+y+z+w=40x + y + z + w = 40 (toplam tablo sayısı), y=2xy = 2x, w=3zw = 3z ve x+y+z=28x + y + z = 28 (A∪BA \cup B kümesinin eleman sayısı) denklemleri elde edilir.
Problemdeki ilişkileri çözebilmek için denklem sistemi oluşturulur.
3
Tümleyen bölgesinin (ww) eleman sayısını bulma
(x+y+z)+w=40  ⟹  28+w=40  ⟹  w=12(x + y + z) + w = 40 \implies 28 + w = 40 \implies w = 12 bulunur.
Evrensel kümenin eleman sayısı ile birleşim kümesinin eleman sayısı arasındaki fark, birleşim kümesinin dışındaki (tümleyen) eleman sayısını verir.
4
Kesişim bölgesinin (zz) eleman sayısını bulma
w=3z  ⟹  12=3z  ⟹  z=4w = 3z \implies 12 = 3z \implies z = 4 bulunur.
Tümleyen ile kesişim kümesi arasındaki kat ilişkisi kullanılarak kesişim kümesinin eleman sayısı elde edilir.
5
Fark kümelerinin eleman sayıları toplamını (x+yx + y) bulma
x+y+z=28  ⟹  x+y+4=28  ⟹  x+y=24x + y + z = 28 \implies x + y + 4 = 28 \implies x + y = 24 bulunur.
Birleşim kümesinden kesişim kümesinin eleman sayısı çıkarılarak sadece bir kümeye ait olan bölgelerin toplamı elde edilir.
6
Sadece yağlı boya tablosu olanların sayısını (xx) hesaplama
y=2xy = 2x olduğundan, x+2x=24  ⟹  3x=24  ⟹  x=8x + 2x = 24 \implies 3x = 24 \implies x = 8 bulunur.
Fark kümeleri arasındaki kat ilişkisi yerine yazılarak hedeflenen fark kümesinin (A∖BA \setminus B) eleman sayısı çözülür.

Anahtar Kavram

Kümelerde fark ve tümleme işlemlerinin Venn şeması üzerinde bölgelerle gösterimi ve evrensel küme ile ilişkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Fark ve Tümleme İşlemleri

Bu konudan daha fazla soru