a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, \begin{aligned} a \cdot c &=… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

a

b

c

birbirinden farklı pozitif tam sayılar olmak üzere,

\begin{aligned} a \cdot c &= 80 \\ a + b &= c \end{aligned}

eşitlikleri veriliyor.

$p$ : $a$ çift sayıdır.
$q$ : $b$ asal sayıdır.
$r$ : $c$ tek sayıdır.

önermeleri tanımlanıyor.

(p \Rightarrow q') \lor r

önermesi yanlış olduğuna göre, $a + b + c$ toplamı kaçtır?

A
18
20Cevap
C
24
D
32
E
42

Cevap

Sayıların toplamı 20'dir.

Bileşik önermenin yanlış (0) olabilmesi için r önermesinin yanlış (0), p => q' önermesinin ise yanlış (0) olması gerekir. Buradan r'nin yanlış olmasıyla c'nin çift, p'nin doğru olmasıyla a'nın çift, ve q'nun doğru olmasıyla b'nin asal sayı olduğu belirlenir. a + b = c denkleminde a ve c çift olduğundan b de çift olmak zorundadır. Çift olan tek asal sayı 2 olduğundan b = 2 olur. a.c = 80 ve c - a = 2 denklemleri birlikte çözüldüğünde a = 8 ve c = 10 bulunur. Sayıların toplamı ise 8 + 2 + 10 = 20 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Verilen bileşik önermenin doğruluk değerini inceleme.

(p \Rightarrow q') \lor r \equiv 0

olduğundan,

p \Rightarrow q' \equiv 0

r \equiv 0

olmalıdır.

Veya (\lor) bağlacı ile bağlanan iki ifadenin sonucu yanlış (0) ise, her iki ifadenin de ayrı ayrı yanlış (0) olması gerekir.

Koşullu önermenin bileşenlerinin doğruluk değerlerini bulma.

p \Rightarrow q' \equiv 0

ise

p \equiv 1

q' \equiv 0 \implies q \equiv 1

olur.

İse (\Rightarrow) bağlacının sonucunun yanlış (0) çıkması için tek durum birincinin doğru (1), ikincinin yanlış (0) olmasıdır.

Önermelerin doğruluk değerlerine göre sayı özelliklerini belirleme.

a

çift sayıdır,

b

asal sayıdır ve

c

çift sayıdır.

p \equiv 1

olduğundan

a

çift,

q \equiv 1

olduğundan

b

asal ve

r \equiv 0

olduğundan

c

çift (tek olmayan) sayı olmalıdır.

Sayılar arasındaki eşitlikten b değerini tespit etme.

a + b = c \implies b = c - a

olur. Çift sayıdan çift sayı çıkarıldığında sonuç çift olacağından

b

çift sayıdır.

b

hem çift hem de asal sayı olduğundan

b = 2

olur.

İki çift sayının farkı çift sayıdır ve tek çift asal sayı 2'dir.

Denklemleri çözerek a ve c sayılarını bulma ve toplamı hesaplama.

c - a = 2

a \cdot c = 80

eşitliklerinden

a(a+2) = 80 \implies a = 8

c = 10

bulunur.

a + b + c = 8 + 2 + 10 = 20

elde edilir.

Çarpımları 80 olan ve aralarındaki fark 2 olan pozitif tam sayılar 8 ve 10'dur.

Anahtar Kavram

Bileşik önermelerin doğruluk değerlerinin bulunması ve sayı özellikleriyle ilişkilendirilmesi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru